BTS SIO Mathématiques approfondies
EXERCICE 2
Dans une compagnie d'assurance, on a pu constater que sur les 1 200 assurés,
60 avaient envoyé au moins une déclaration de sinistre dans l'année.
On dira dans tout cet exercice que ces 60 dossiers sont de "type DS ".
On prélève au hasard et avec remise n dossiers parmi les 1 200 dossiers des assurés.
X est la variable aléatoire donnant, parmi les n dossiers prélevés, le nombre de dossiers de "type DS ".
Les probabilités demandées seront données sous forme décimale, arrondies à 10−2 .
1) Quelle est la loi suivie par X ? Donner les paramètres de cette loi.
2) Dans cette question, on prend n = 10. Calculer les probabilités :
a) pour qu'un seul dossier soit de "type DS " ;
b) pour qu’il y ait, parmi ces 10 dossiers, au moins un dossier de "type DS ".
3) Dans cette question, on prend n = 60.
On admet que la loi de probabilité X peut être approchée par une loi de Poisson.
Soit Y une variable aléatoire suivant cette loi de Poisson.
a) Déterminer le paramètre de la loi de Poisson suivie par Y .
b) Quelle est la probabilité P(Y ≥ 2) ?
4) Dans cette question, on prend n = 200.
On admet que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi normale.
Soit Z une variable aléatoire suivant cette loi normale.
a) Déterminer les paramètres de la loi normale suivie par Z .
b) Calculer les probabilités suivantes P(Z ≤ 9) et P(Z ≥ 15) .
c) Calculer une valeur approchée de P(X = k) revient à calculer P(k − 0,5 ≤ Z ≤ k + 0,5), où
intervient la correction de continuité.
A l'aide de ce renseignement, calculer une valeur approchée de la probabilité P(X = m),
où m est l’espérance mathématique de la variable X.
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