Nom : ............. Prénom: .............. Date: ......... Classe: BTS1A
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M étant donné une matrice carrée , on pose M1 = M et pour tout entier naturel n non nul , Mn+1 = M ×Mn .
On considère la matrice D définie par :
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | - 1 / 2 / |
a. Calculer D2 et D3 .
D2 = ...................
D3 = .....................
On admettra que pour tout entier naturel non nul n , on a Dn qui est la matrice
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | ( - 1 / 2 )n / |
b. Etant données les matrices P et P' respectivement
/ 1
1 \
\ 1
- 2 /
et
| / 2 / 3 | 1 / 3 \ |
| \ 1 / 3 | - 1 / 3 / |
montrer que P × P' est la matrice unité I
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | 1 / |
P × P' = ..............
Calculer aussi P' × P.
c. On considère la matrice A égale à
/ 1 / 2
1 /2 \
\ 1
0 /
Montrer que P × D × P' = A
P × D × P' = ................
P × D × P' = ...................
d. n est un entier naturel non nul.
Sachant que An = ( P × D × P' )×( P × D × P' )×.........×( P × D × P' ) avec n facteur identiques
utiliser le 1. b. pour établir que An = P × Dn × P' .
An = ...................
En déduire les termes de la matrice An en fonction de ( - 1 / 2 )n .
P × Dn × P' = ...................