EXERCICES A REDIGER BTS 1 SYSTEMES LINEAIRES Mars 2009
Les trois exercices illustrent les trois situations qui peuvent survenir.
EX1 Résoudre dans IR3 le système suivant:
x + y + z = 1 L1
2 x + y - 2 z = - 4 L2
- 2 x + 2 y + z = - 4 L3
Réponse : S = { ( 1 ; - 2 ; 2 ) }
Aide: Le système s'écrit une fois triangularisé :
x + y + z = 1 L1
y + 4 z = 6 L2
- 13 z = - 26 L3
Il y a un unique triplet solution.
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EX 2 Résoudre dans IR3 le système suivant:
2 x - y + 3 z = 2 L1
x + 2 y + z = 1 L2
3 x - 4 y + 5 z = 3 L3
Réponse : S = { ( - 7 y + 1 ; y ; 5 y ) / y dans IR }
Aide: Commencer par L1 ↔ L2
Le système s'écrit une fois transformé :
x + 2 y + z = 1 L1
- 5 y + z = 0 L2
0 z = 0 L3
On est obligé de prendre une inconnue comme paramètre.
Ici c'est z que l'on prend comme paramètre.
Il y a une infinité de triplets solutions.
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EX.3
Résoudre dans IR3 le système suivant:
x - y + 2 z = 3 L1
2 x + 3 y - z = 1 L2
x + 4 y - 3 z = 2 L3
Réponse : S est l'ensemble vide .
Le système s'écrit une fois transformé :
x - y + 2 z = 3 L1
5 y - 5 z = - 5 L2
5 y - 5 z =- 1 L3
c-à-d
x - y + 2 z = 3 L1
5 y - 5 z = - 5 L2
oz = 4 L3
L3 est impossible.
Il n'y a pas de solution pour le système.
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