EXERCICE 3 D'UNE EPREUVE DE BTS SUR LES MATRICES Mars 2009
EXERCICE 3 5 POINTS
Soit les matrices
M =
/ 0
1
- 1 \
| - 3
4
- 3 |
\ - 1
1
0 /
I =
| / 1 | 0 | 0 \ |
| | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 1 / |
1. Calculer M2 et M3 .
2. Déterminer les réels a et b tels que M2 = a M + b I .
3. Exprimer alors M3 en fonction de M et I , puis écrire M3 sous la forme d'une
matrice à trois lignes et à trois colonnes.
Comparer avec le résultat obtenu à la première question.
4. a . Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question que l'on peut écrire
I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M )
b . En déduire une matrice P telle que MP = I.
c. Ecrire P sous la forme d'une matrice à trois lignes et trois colonnes.
d. Calculer P × M
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