EXERCICE SYST 26 Nov 2014

                              RESOLUTION D'UN SYSTEME                        26 novembre 2014           BTS1B

       EXERCICE

          Une usine fabrique trois types de pièces, dans un même matériau.

          Le nombre total de pièces fabriquées est désigné par N, leur masse totale( en K g ) par M,

          leur coût total d'expédition en euros par C.

           On peut synthétiser cette situation par un tableau:

  Types de pièces    P1     P2     P3  
Coût d'expédition d'une pièce en €       
Masse en Kg d'une pièce      
Nombre de pièces fabriquées    x    y    z

        Ici le coût indiqué et la masse sont unitaires. C'est pourquoi on n'a pas

            besoin dans la dernière ligne de  mettre des 1 . On indique le nombre de pièces

         fabriquées de chaque sorte.

    Le système ci-dessous fournit des informations complémentaires sur cette fabrication.

               1banbou

     1. Recopier et compléter le tableau.

     2. a. Ecrire le système sous forme matricielle:    A × X = Y

         b. Trouver la matrice inverse de A notée  A− 1  à l'aide de la calculatrice.

         c.  Calculer le produit   A− 1 ×  Y  sans la calculatrice.

         d.  En déduire x , y , z en fonction de N , M et C.

     3.  Dans cette question : C = 8100 €   ;  M = 360 Kg     ; N = 250

           Combien a-t-on fabriqué de pièces de chaque catégorie ?

     4. Résoudre IR3  le système suivant

                     21nvb

      en le mettant sous la forme triangulaire sans utiliser les matrices:            

                   44dhgf

        ( On fera d'abord disparaître x dans les deux dernières équations.

          Puis on fera disparaître y dans la dernière.

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     REPONSE:

       1. Complétons le tableau.

  Types de pièces    P1         P2        P3   
Coût d'expédition d'une pièce en €   40  20  10
Masse en Kg  unitaire  1  2  3
Nombre de pièces fabriquées    x    y   z

       2.a. Ecriture matricielle du système:

                Attention à l'ordre des lignes de la matrice A qui n'est pas celui du tableau.

          Soit 

               48dpg

             Alors le système

                   1banbou

                     s'écrit :        A x X = Y

               Explications:

               Ratalba

             b. Recherche de A- 1 .  

                       Avec la calculatrice on a:

                          4qmo 1

      ( Le calcul de A − 1   est fait, conformément au programme, exclusivement 

      avec la calculatrice. Il n'est pas demandé de justifier l'existence de A − 1    )

           c. Calculons  le produit   A− 1 ×  Y   .

             Comme la matrice colonne Y des seconds membres n'est pas numérique 

            on fait le travail à la main.

              On a : 

                    Dastesc

                   49mfg

            d. Déduisons x , y et z.

                              Comme    X = A− 1 x Y  on a :

                         12bol

    3. Cas particulier:   C = 8100 €   ;  M = 360 Kg     ; N = 250

           Donnons x , y , z.

           Il vient en remplaçant C , M , N par leurs valeurs:

                                                             x = 170

                                                            y = 50

                                                             z = 30

           Conclusion:

          170 pièces de type  P1 ont été fabriquées

           50 pièces de type  P2 ont été fabriquées

           30 pièces de type P3 ont été fabriquées

      4. Retrouvons ce résultat en triangularisant le système.

              ( Méthode du Pivot de Gauss )

           On a au départ :

            739nbv

          Membre à membre on retranche une fois la première équation à la deuxième équation.

          Membre à membre on retranche quarante fois la première équation à la troisième équation. 

          Ce qui est noté :            L 2 ←  L 2 − L 1         L 3 ←  L 3 − 40 L 1     

          Le système équivalent est :

                   173dre  

           c-à-d 

                7659jdy 2

             On ajoute membre à membre 20 fois la seconde équation

             à la troisième équation.  Cela se note     L 3 ←  L 3 + 20 L 2   

             On obtient le système équivalent suivant:

                         5479opu 1

             On extrait   z de la dernière.

                           z = 30

             Puis on extrait  y de la seconde équation:

                     y = 110 − 2 × 30 = 50

           Enfin on extrait x de la première équation :

                   x = 250 - y - z = 250 − 50 − 30 = 170 

               Conclusion :

                    x = 170 

                    y = 50 

                    z = 30

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