INFO EX 2 SYSTEME LINEAIRE MARS 2009
EX 2
Résoudre dans IR3 le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .
x + y + z = 6
2 x - y + 2 z = 9
2x + 3 y - z = 7
c-à-d
| / 1 | 1 | 1 | | 6 \ |
| | 2 | - 1 | 2 | | 9 | |
| \ 2 | 3 | -1 | | 7 / |
La réponse devra être S = { ( 3 ; 1 ; 2 ) }
| / 1 | 1 | 1 | | 6 \ |
| | 2 | - 1 | 2 | | 9 | |
| \ 2 | 3 | -1 | | 7 / |
On considère L2 ← L2 - 2 L1 et L3 ← L3 - 2 L1 .
On obtient le système équivalent suivant:
/ 1
1
1
| 6 \
| 0
- 3
0
| - 3 |
\ 0
1
-3
| - 5 /
On fait L2 ↔ L3
On obtient le système équivalent suivant :
| / 1 | 1 | 1 | | 6 \ |
| | 0 | 1 | -3 | | - 5 | |
| \ 0 | -3 | 0 | | - 3 / |
On permute les inconnues y et z.
L'odre des inconnues sera alors x , z , y .
On obtient le système :
| / 1 | 1 | 1 | | 6 \ |
| | 0 | - 3 | 1 | | - 5 | |
| \ 0 | 0 | - 3 | | - 3 / |
Le système est triangulaire.
Alors L3 donne y = 1
Puis L2 donne - 3 z + y = - 5
c-à-d z = ( y + 5 ) / 3 = 6 / 3 = 2
c-à-d z = 2
Enfin L1 donne x + z + y = 6
c-à-d x = - z - y + 6
c-à-d x = - 2 - 1 + 6 = 3
c-à-d x = 3
Conclusion: S ={ ( 3 ; 1 ; 2 ) }
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