INFO EX 3 SYSTEME LINEAIRE MARS 2009
EX 3
Résoudre dans IR3 le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .
x - y + 2 z = 3
2 x - y + z = 2
4 x - 2 y + 2 z = 4
| / 1 | -1 | 2 | | 3 \ |
| | 2 | - 1 | 1 | | 2 | |
| \ 4 | - 2 | 2 | | 4 / |
La réponse devra être S = { ( - 1 + z ; - 4 + 3 z , z ) / z dans IR }
REPONSE: Le premier pivot est 1
| / 1 | -1 | 2 | | 3 \ |
| | 2 | - 1 | 1 | | 2 | |
| \ 4 | - 2 | 2 | | 4 / |
On fait L2 ← L2 - 2 L1 et L3 ← L3 - 4 L1
On obtient le système équivalent suivant:
| / 1 | -1 | 2 | | 3 \ |
| | 0 | 1 | - 3 | | - 4 | |
| \ 0 | 2 | - 6 | | - 8 / |
1 est le second pivot.
On fait L3 ← L3 - 2 L2
On obtient le système équivalent suivant:
/ 1
-1
2
| 3 \
| 0
1
- 3
| - 4 |
\ 0
0
0
| 0 /
Il manque une équation. Nous devons donc prendre l'une des trois
inconnue comme paramètre. Prenons z. z est désormais fixé. Cen'est plus une inconnue.
Le système devient en mettant dans les secondles termes en z dans les second membres:
| / 1 | -1 | | 3 - 2 z \ | |
| \ 0 | 1 | | - 4+ 3 z / | |
Le système est triangulaire avec les inconnues x et y.
L2 donne y = - 4 + 3 z
Puis L1 donne x = y + 3 - 2 z
c-à-d x = ( - 4 + 3 z ) + 3 - 2 z = - 1 + z
c-à-d x = - 1 + z
Conclusion: S { ( - 1 + z ; - 4 + 3 z , z ) / z soit dans IR }
Il y a dans ce cas une infinité de triplets solutions.
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