INFO EX SUJET BTS MATR. SUITE

       EXERCICE SUR LES MATRICES ET SUITES DE SUJET DE BTS    Nov. 2010

             EXERCICE 1

                      Dans cet exercice, n désigne un  entier naturel non nul.

                      M étant une matrice carrée, on pose M1 = M  ×et , pour tout n, Mn + 1  = M × Mn  .

              1. Une suite u est définie par u1 = 1  et pour tout n,   un +1 = 1 + 2 un   .

                   a. Calculer  u2    et  u3    .

                  Réponse:      u2  = 1 + 2 u1   =  1 + 2 × 1 = 3  

                                       u2  =  3

                                            u3  = 1 + 2 u2   =  1 + 2 × 3  =  7

                                       u3  = 7

                     b. Soit la suite v définie pour tout n  par   vn = 1 + un   .

                       Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera

                       la raison et le premier terme  v1  .

                          vn + 1  =  1 + un +1   =  1 + 1 + 2 un   = 2 + 2 (  vn   - 1 )

                            vn +1 = 2 vn              pour tout  n  dans IN

                            v1   = 1 + 1 = 2

                           v est une suite géométrique de raison  2.

                              v1    = 2

                      c. Calculer  vn   puis un    en fonction de  n .

                          vn   =   v1  ×   2n - 1 

                      Donc      vn   = 2   × 2n - 1   =  2n

                             vn   =  2n

                             un   =  vn    - 1

                            un   =  2n    - 1

                     2. On considère les matrices:

                                            et       

                   a . Calculer les matrices A² et  B = I + A . En déduire que B × A = 2 A.

                           Réponse:

                               • Calcul de A².

                                         

                        c-à-d                 

                          Donc :     Conclusion:  A² = A  

                        •   On nous dit que :       B = I + A 

                             Donc   B =   

                          •     On obtient:    B  ×  A = 2 A 

                          •   • Soit par le calcul matriciel directement.

                           • •  Soit en remarquant :  

                                 On a :

                                   B × A = ( I + A ) × A  = I × A  + A²  = A + A = 2 A

                   b. On admet que pour tout entier n  non nul , il existe un réel an   tel que 

                         Bn = I  +  an  A.            

                        Exprimer   Bn + 1   en fonction de I , A et  an+1   .        

                          On a :       Conclusion :      Bn + 1 = I  +  an + 1  A   

                        En remarquant que   Bn +1    =  B  ×    Bn     exprimer     Bn + 1    

                            en fonction  de I , A et  an  .

                        On a   Bn = I  +  an  A    et   Bn +1    =  B  ×    Bn    

                         Donc:  

                           Bn + 1    =  B ×  B n     =  B ×  (  I  +  an  A ) =  B × I + an  B × A

                            c-à-d   comme  B × A = 2 A

                          Bn +1    =   B +  an  ( 2 A ) = B + 2  an  A

                      Ainsi :         Bn + 1 =  B  + 2 an   A   

                                       Mais   B = I + A

                        Donc :     Bn + 1    =  I + A +  2  an  A

                            c-à-d  

                                    Conclusion:            Bn + 1    =  I +  ( 1 +  2  an  )  A

                           En déduire que pour tout entier naturel non nul  n  ,   an+1 = 1 + 2  an  .

                   En comparant les deux écritures de  Bn +1  qui sont :

                           Bn + 1    =  I + ( 1 + 2  an ) A

                             Bn + 1    =  I +  an + 1  A

                      On peut dire: 

                           Conclusion:      an + 1    =  1 + 2  an

                    3.  En utilisant  les résultats de la question 1 exprimer   an en fonction de n . 

                            On a :     a1    =  1   car     B1 = I + 1  A

                           On a :    an + 1    =  1 + 2  an                     n entier naturel non nul

                          On en déduit que la suite (  an   )  est la même que la suite ( u ) de la première

                            question.   Ainsi

                                  Conclusion   :       an     =  un    = 2n   - 1     

                         Déduire des questions précédentes l'expression de   Bn   en fonction de n  , A et I.   

                               D'où           Bn    =  I +  an   A    = I + (  2n   - 1   ) A

                           Conclusion:       Bn    =   I + (  2n   - 1   ) A     pour tout n dans IN*

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