INFO EX 1 SYSTEME LINEAIRE mars 2009
Résoudre dans IR3 le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z . ←
x + y - z = 0
2 x - y + 2 z = - 2
x + 3 y - z = 4
| / 1 | 1 | -1 | | 0 \ |
| | 2 | - 1 | 2 | | - 2 | |
| \ 1 | 3 | -1 | | 4 / |
On devra obtenir S = { ( - 1 ; 2 ; 1 ) }
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Réponse: 1 est le premier pivot.
| / 1 | 1 | -1 | | 0 \ L1 |
| | 2 | - 1 | 2 | | - 2 | L2 |
| \ 1 | 3 | -1 | | 4 / L3 |
On fait L2 ← L2 - 2 L1 et L3 ← L3 - L1
On obtient le système équivalent suivant:
/ 1
1
-1
| 0 \ L1
| 0
- 3
4
| - 2 | L2
\ 0
2
0
| 4 / L3
On fait la permutation des inconnues y et z. Cela évite une transformation plus
compliquée.
Pour cela on permute les colonnes des coefficients de y et z.
On obtient donc le système d'inconnues x , z , y suivant:
| / 1 | -1 | 1 | | 0 \ L1 |
| | 0 | 4 | - 3 | | - 2 | L2 |
| \ 0 | 0 | 2 | | 4 / L3 |
C'est un système triangulaire.
L3 donne 2 y = 4 Donc y = 2
Puis L2 donne 4 z - 3 y = - 2 .
c-à-d 4 z = 3 y - 2 = 3 ( 2 ) - 2 = 4
c-à-d z = 4 / 4 = 1
c-à-d z = 1
Enfin L1 donne x - z + y = 0 .
c-àd x = z - y = 1 - 2 = - 1
c-à-d x = - 1
Conclusion: S = { ( - 1 ; 2 ; 1 ) }
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Il n'y a qu'un seul triplet de réel qui soit solution du système.
ATTENTION : Il n'en est pas toujours ainsi.
On pourrait avoir l'ensemble vide ou encore une infinité de solutions.