INFO TEST 18/12/13

                                       INFO TEST                  BTS1A    18/12/13

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                REPONSE: 

    2. On vérifie directement  à la calculatrice que  A³ =    2A² - I   .

                c-à-d     I  = 2A² -   A³   

                   c-à-d     I = A ( 2 A - A²  )

        Conclusion : On a bien A ( 2 A - A²  )  =  I

    3.    Calcul de A^-1  à la calculatrice :

            Comme  det( A ) ≠ 0   on peut inverser A.

      On vérifie à la calculatrice que   2 A - A²   = A^{- 1}   

         Ainsi  :  

         Conclusion :   A ' = A^{- 1} 

    4. Résolution du système:

              det( A ) ≠ 0

          On directement :  X = A^{- 1} Y

             A la calculatrice on obtient la matrice colonne X.

               D'où :

          Conclusion :   S_IR³  = { ( - 3 , 3 , 2 ) }    

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   EXERCICE 2

       1.Résoudre dans IR³   le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .

                     x   +  y    + z   = 6           

                     2 x -  y + 2 z  = 9                             

                    2x +  3 y - z   =   7     

         REPONSE:

              Son écriture matricielle est :  

                      Le système s'écrit:  M X = Y

  c-à-d        comme det( M ) ≠ 0

                     X = M ^-1  Y

               A la calculatrice on obtient  X.

              Conclusion:      S_IR³  = { ( 3 ; 1 ; 2 ) }

    2. On considère les matrices  M ,  X  et  Y suivantes:

       Résoudre alors dans IR³  le système linéaire M X = Y.

    REPONSE:

                 M X = Y 

                c-à-d   det( M ) ≠ 0

                     X = M ^{- 1}  Y

               A la calculatrice on obtient  X.

            Conclusion:  S_IR³  = { ( 1 , - 1 , 3 ) } 

     3.   Résoudre dans IR³  le système linéaire suivant:          

               REPONSE:       

              De la mêmme façon il s'écrit sous la forme  M X = Y    

               comme   det( M ) ≠ 0   il devient:

                   X = M ^{- 1}  Y

                  A la calculatrice  on obtient X:       

              Conclusion: S_IR³  = { ( 2 , 3 , 2 ) }  

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            EXERCICE 3 

 Une usine fabrique trois sortes d'articles : a₁  , a ₂ , a₃  , à partir de trois modules : m₁ , m₂ , m₃  .

         On donne :        

                  On lit par exemple :

                          Pour fabriquer un article a ₂  , il faut 9 modules m₁  et 8 modules m₃  .

                          Un module m₁  pèse 5 Kg et coûte 180 euros.

                  On note : 

A  est la matrice:                                                                

 M  est la matrice:

                 1. a. Calculer le produit matriciel M × A.

                    REPONSE

 Conclusion:

    Ainsi  M ×A  st la matrice: 

                      b. Interpréter les lignes de ce produit.

                    REPONSE:

                      Première ligne:   On a le  poids nécessaire par article   a₁  , par article   a₂   ,par article  a₃  .

                      Seconde  ligne:   On a le coût nécessaire  par article   a₁  , par article   a₂   ,par article  a₃  .

                 2. Une semaine donnée , l'usine doit fournir 8 articles a₁   , 12 articles a ₂  , 13 articles a₃ .

                     Elle dispose en début de semaine d'un stock de 200 modules de chaque sorte.

                     On note  F la matrice :               

                      a . Calculer le produit matriciel A × F . Que représente-t-il ?

                             REPONSE:

                              On a :       A × F qui est la matrice:

  c-à-d

  c-à-d   A × F est

     Interprétons :  La première ligne est  le nombre de modules   m₁  pour la semaine pour produire

                            la demande  [ 8 articles a₁   , 12 articles  a₂  ,13  articles a₃ .]      

                            La seconde ligne est  le nombre de modules   m₂  pour la semaine pour produire

                             la demande  [ 8 articles a₁   , 12 articles a ₂  , 13  articles a₃ .]    

                            La troisième  ligne est  le nombre de modules   m₃  pour la semaine pour produire

                             la demande   [ 8 articles a₁   , 12 articles a ₂  , 13  articles a₃ .]    

                     b. La demande  [ 8 articles a₁   , 12 articles a ₂  , 13 articles a₃ .] peut-elle être satisfaite? 

                    REPONSE:

                              Une semaine donnée:               

                            Elle dispose de 200  modules  m₁ . Il lui en faut  197.  Pas de problème.

                            Elle dispose de 200  modules  m₂ . Il lui en faut  189.  Pas de problème.

                           MAIS  elle dispose de 200  modules  m₃ . Il lui en faut  206. ELLE ne peut donc pas

                           satisfaire la demande c-à-d   produire:    8 articles a₁   , 12 articles a ₂  , 13  articles a₃ .   

       Conclusion:            LA REPONSE  EST  NON.

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   EXERCICE 4:

                        On considère les matrices :

             1.  Démontrer que  A² - 3 A + 2 I = 0  

                      ( O étant la matrice nulle )

              2. En remarquant que  A = A × I   vérifier que l'égalité de la question 1

                                 peut s'écrire :   

            3. En déduire l'existence d'une matrice A ' telle que :

                               A ×  A' = I

           ( On donnera d'abord l'expression de A ' en fonction de A et I  puis sous forme

            d'un tableau de nombres)

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              REPONSE:

    1. Avec la calculatrice directement on vérifie que  A² - 3 A + 2 I =0  .

     2.  On considère :     A² - 3 A× I + 2 I = 0  

                   c-à-d             2 I = 3 A× I  -  A² 

                    c-à-d           en factorisant A 

                                         2 I = A (  3  I  -  A  )   

                     c-à-d    en multipliant par 1 / 2  chaque membre :

              3.  On peut considérer:

                        on a bien alors  A × A' = I

              4. Avec la calculatrice il vient :

                    A ' est simplement la matrice  A ^{- 1}.

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              EXERCICE 5

               Soient les  matrices  suivantes:

            1. Déterminer les deux nombres réels a et b tels que :

                                 A = a I + b J

          2 .  Calculer  J² .

          3. On suppose que A = 3 I + J .

           a. Montrer que    ( 3 I + J )² = 10 I + 6 J       à partir de la seconde question

                et des propriétés usuelles des matrices.

               ( Dans cette question on n'utilisera pas les expressions des matrices

                 comme tableau  mais on raisonnera littéralement avec les lettres A, I, J.

             b. Vérifier à l'aide des expresions données pour les matrices au début de l'exercice 

                       que     A² = 10 I + 6 J

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               REPONSE: 

             1 . L'égalité     A = a I + b J  

                se traduit par :

      2. Avec la calculatrice :

                       Conclusion :

     3. On sait que :  A = 3 I + J

           a .  Donc :     A² = ( 3 I + J)²  = 9   I²  +  J²  + 6  I × J

                         ( égalité remarquable)

                           Mais   I² = I  =  J^{2           I × J  = J}  

                           D'où le résultat :      A² = ( 3 I + J)² = 10 I + 6 J

           b.  Avec la calculatrice  on obtient      A² =  10 I + 6 J  directement.

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