TEST BTS1 MATRICES 2010

      TEST    BTS 1  MATRICES    3 décembre 2010   

        Soit les matrices : 

                                          

         1. Trouver les matrices A²  ;  C = I + A .

         2. Soit  (  1 ) le système linéaire  A × V = B.

             Résoudre le système ( 1 ) par la méthode du pivot de Gauss.

        3. Calculer la matrice D  × A .                  

            Montrer que   A × V = B    <=>  V = D × B

        4. En déduire la matrice V.

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    Réponse:

         1 .    On a :  

                            

                      et   comme C = I + A

                                      

         2.    Considérons:    L2 ←  L2 -  2  L1

                                        L3  ← L3  -  L1

                  On obtient le système équivalent suivant:

                          x  -  2 y  - z  = 0               L1

                          5 y +  4 z   = 6                 L2

                          2 y  + 2 z =  2                   L3 

                    Puis     L3  ← ( 1/2 ) L3  

                   On obtient le système équivalent suivant :

                         x  -  2 y  - z  = 0               L1

                          5 y +  4 z   = 6                 L2

                             y  + z =  1                 L3 

                                  L3    ↔ L2 

                   On obtient le système équivalent suivant :                            

                           x  -  2 y  - z  = 0               L1

                             y  + z =  1                      L2 

                           5 y +  4 z   = 6                 L3

                         L3  ← L3  -  5 L2

                          On obtient le système équivalent suivant :                                

                            x  -  2 y  - z  = 0               L1

                              y  + z =  1                      L2 

                                    - z = 1                       L3

                           L3    donne    z = - 1 

                          L2    donne     y = 1 - z = 1 + 1 = 2           

                                        y = 2 

                             L1    donne      x = 2 y + z = 4 -1 = 3

                                      x = 3 

             Conclusion : SIR3 = { (  3  ; 2  ; - 1  ) } 

                3.    • On a par le calcul: 

                           

               Donc :                D × A = I 

                 • Montrons l'équivalence:    A × V = B    <=>     V = D × B    

               On a :    A × V = B    <=>     D  × A  × V = D × B           

                c-à-d     A × V = B    <=>     I  × V = D × B         

               c-à-d     A × V = B    <=>     V = D × B    

                  4. Déduisons la matrice V.

                      Comme  V = D × B    et

                                

                        et       

                         On a :      x = 3

                                         y = 2

                                       z = - 1

                Conclusion : SIR3 = { (  3  ; 2  ; - 1  ) }