INFO TEST n°2 BTS1 B 17 février 2016

        INFO  TEST n° 2  Matrices et systèmes     17  février 2016      BTS 1  B 

         EXERCICE 1

           Soit la parabole P d'équation y = a x2 + b x + c  dans le plan

           muni d'un repère orthonormal.

           On admet que P passe par les points : A ( 1 , 1)  , B( 2 , 4 ) et C( − 1 , 3 ).

        1.  Déterminer un système de trois équations à trois inconnues a , b et c

             qui traduit que P passe par les points A , B et C .

              REPONSE:

     A est sur P donc :   a x 1 2  +  b x 1 + c = 1     c-à-d        a + b + c = 1

     B est sur P donc : a x 2 2  + b x 2 + c = 4   c-à-d          4 a + 2 b + c = 4

     C est sur P donc :  a x ( − 1 )2  + b x ( − 1 )  + c = 3    c-à-d    a  − b + c = 3

              Conclusion:

                          a + b + c = 1

                          4 a + 2 b + c = 4

                          a  − b + c = 3

  2.  Résoudre ensuite ce système ainsi obtenu et donner alors l'équation de P.

              REPONSE :

                         Soit :

                   As357df951gr

                A est inversible. ( admis )

               On a:  

                   Sans titre 3             

          Avec la calculatrice:

               M45az4p

            Conclusion:   a = 4 / 3      b = − 1    c = 2 / 3

                        y = ( 4 / 3 ) x2  − x +  2 / 3

      3. La parabole P passe-t-elle par l'origine O( 0 , 0) ?

             REPONSE :  Non car    le terme constant  c   n'est pas nul.

-------------------------------------------------------------------------

            EXERCICE 2

           1.Résoudre dans IR3   le système :                  

                   Z11e   

               REPONSE:  

               z = 2   puis   y = 3   enfin   x =  2  en remontant le système

                   Conclusion   S= { ( 2 ; 3 ; 2 ) }

       2. Résoudre dans IR3   le système :             

                Qs45er78re                

            Si l'on retranchait trois fois membre à membre la première équation

            à la deuxième équation et si l'on retranchait membre à membre deux

           fois la première à la troisième équation que se passerait-il ?

           REPONSE:

               On obtiendrait :

                Z11e

                C'est-à-dire le système précédent.

            Donc il est inutile de refaire le travail.

                     Conclusion   S= { ( 2 ; 3 ; 2 ) }

         3. Proposer un système de trois équations  linéaires dont l'ensemble solution est :

                    S = {( 5 ; 2 ; − 3 ) }

                REPONSE:

                      On peut proposer:

                           x + y + z = 4

                         2 x - 3 y + z = 1

                         3 x + 5 y - 2 z = 31

          4.​  Résoudre dans IR3   le système :

                        

                  REPONSE:

                              Soit:

                         Casbl45 

                  A est inversible.

                    Le système devient:

                              Hg65ar548p

                         c-à-d

                                        Per45ocir

                              Conclusion   S= { ( 2 ; 3 ; 2 ) }

            5.  On considère les matrices:

                                      et        

                   a . Calculer la matrice A² . Que remarquez-vous?

                       Pouvez -vous en déduire A3  ?

                       REPONSE:

                            On trouve :      A2  = A

                            Donc:      A3  = A2 x A = A x A = A2 = A

                           c-à-d       A3  = A

               b. Trouver  la matrice  B telle que B = I + A .

                        Calculer  B × A.

                        Que remarquez-vous?

             REPONSE: 

              On obtient :  

             4612frmpoi 

                Conclusion:

               Scemloi45978  

       De plus :   B x A = ( I + A ) x A = A + A2  = A + A = 2 A

          Donc:

        Conclusion :             B x A = 2 A       

                        S4a5e89

          6. Soit l'égalité:

                 Ma4e4am5

              Trouver les réels x , y , z .

            REPONSE:

                    Soit la matrice inversible :

                D4q9e7k2

             Le système s'écrit :

                        Stimak47

               Avec la calculatrice on obtient:

                    D5a32mx98

          Conclusion:

                   S= { ( 5 ; 2 ; − 3 ) }

-------------------------------------------

    EXERCICE 3       

                 Les calculs se feront à la calculatrice.

                Damop1 1

             1. Calculer la matrice produit  M x A.

                    REPONSE:   

                         On a : 

                          832cv78spo

             2. Trouver la matrice A− 1 .

                     REPONSE:

                     La matrice A est inversible

                Conclusion:

                     Vnima14

             3.  Calculer la matrice A x B.

                   REPONSE:

                    Avec la calculatrice:

                              D672zmoip74

             4. Résoudre dans IR3   le système :

                   Sacassez

            REPONSE:

                Soit 

                         Jez138

            Comme a est inversible il s'écrit :   A x X =  B                   

                 c-à-d             X = A− 1 x B

                  c-à-d  

                  R1e7df54 

           Conclusion:    S = { ( 8 ; ; 12 ; 13 ) }

  5.​ Une usine fabrique trois sortes d'articles : a1  , a 2 , a3  ,

      à partir de trois modules : m1 , m2 , m3  . 

      Elle dispose seulement de : 200 modules m1 , 200 modules m2  , 200 modules m3  .

      Par exemple pour fabriquer un article a 2  , il lui faut 9 modules m1  et 8 modules m3  .    

      Un module m1  pèse 5 Kg et coûte 180 euros.   

      On donne les tableaux suivants :        

    Atb    

                       
    a.Quand on écrit :   81 = 5 x 3 + 6 x 9 + 3 x 4

     que représente 81 pour un article a1 et dans quelle unité ?

             REPONSE:

                81  en Kg est la masse pour produire un article a1        

 b. Quelle est la masse nécessaire pour produire un article a 2 ?

           REPONSE:

        On a :     69 = 5 x 9 + 6 x 0 + 3 x 8    

                  69   en Kg est la masse pour produire un article a 2

     c.Quand on écrit :   3390 = 180 x 3 + 250 x 9 + 150 x 4

         que représente 3390 pour un article a1  et dans quelle unité ?

            REPONSE:

                 3390 est en euros le coût pour produire un article a1 

     d. A l'aide de A x B dire si l'entreprise peut produire 8 article a1  ,

       12 articles a 2 , 13 articles  a3  alors qu'elle ne dispose que 200 modules

           de chaque sorte.

             REPONSE:

             D672zmoip74

           Donc la production de 8 article a1 , 12 articles a 2 , 13 articles  a3  nécessite

           197  modules m1  , 189 modules m2  mais attention aussi 206 modules m3.

             Or elle ne dispose que de 200 modules m3.

            Conclusion: l'entreprise ne peut pas réaliser cette production

-----------------------------------------------------------------------