TEST MATRICES 18 /12/13

                                                TEST  SUR LES MATRICES    BTS1   A                   Décembre 2013

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                  Exmat 1

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                EXERCICE  2      

     1. Résoudre dans IR3   le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .

                   x   +  y    + z   = 6           

                  2 x -  y + 2 z  = 9                             

                  2x +  3 y - z   =   7           

       2.  On considère les matrices  M ,  X  et  Y suivantes:

                      

          Résoudre alors dans IR3  le système linéaire M X = Y.

        3.  Résoudre dans IR3  le système linéaire suivant:          

                   

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                Ex3tstd81213                 

                 On lit par exemple :
              Pour fabriquer un article a2, il faut 9 modules m1 et 8 modules m3.
              Un module m1 pèse 5 kg et coûte 180 euros.

              On note : 

         /   3 9 5   \
A =  |    4 0 9    |          et               
         \   4 8 6   /

  Matricem   

           1.  a.  Calculer le produit matriciel M × A .
                b. Interpréter les lignes de ce produit.

          2.  Une semaine donnée, l’usine doit fournir 8 articles a1, 12 articles a2, 13 articles a3. 

              Elle dispose en début de semaine d’un stock de 200 modules de chaque sorte.
              On note F la matrice :

                          Matrf         

           a) Calculer le produit matriciel A × F ? Que représente-t-il ?
           b) La demande:

                8 articles a1 , 12 articles a2 , 13 articles a3

               peut-elle être satisfaite ?

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  EXERCICE 4:

                        On considère les matrices :

                             Mtenon

             1.  Démontrer que  A2 - 3 A + 2 I = 0  

                      ( O étant la matrice nulle )

              2. En remarquant que  A = A × I   vérifier que l'égalité de la question 1

                                 peut s'écrire :   

                                    Formar

            3. En déduire l'existence d'une matrice A ' telle que :

                               A ×  A' = I

           ( On donnera d'abord l'expression de A ' en fonction de A et I  puis sous forme

            d'un tableau de nombres)

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             EXERCICE 5

               Soient les  matrices  suivantes:

                                  Trmt

            1. Déterminer les deux nombres réels a et b tels que :

                                 A = a I + b J

          2 .  Calculer  J2 .

          3. On suppose que A = 3 I + J .

           a. Montrer que    ( 3 I + J )2 = 10 I + 6 J       à partir de la seconde question

                et des propriétés usuelles des matrices.

               ( Dans cette question on n'utilisera pas les expressions des matrices

                 comme tableau  mais on raisonnera littéralement avec les lettres A, I, J.

             b. Vérifier à l'aide des expresions données pour les matrices au début de l'exercice 

                       que     A2 = 10 I + 6 J

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