TEST BTS1 du 3 février 2016 SYST LINEAIRES MATRICE

                                TEST  BTS1       3   février 2016   Systèmes linéaires et matrices      

    EXERCICE 1

              Une entreprise IBAYK de Lille fabrique des vêtements:

              En particulier, elle vend à deux grosses chaînes de distribution  A et  B, 

              des pantalons légers, des vestes polos, des chemises d'été.

               Les frais d'expédition et de conditionnement  HT sont de:

                     3 € pour un pantalon

                     4 € pour une veste

                   2 € pour une chemise

            En mai 2015 A et B ont passé la commande suivante:

Mois de mai 2015  Nombre de pantalons Nombre de vestes Nombre de chemises
 A 10 15 50
B 5 7 20

          HT , un pantalon est vendu  20 € , une veste est vendue 55 €  et une chemise est vendue 4 € .

                              On pose :  

                     Tadei

                                    Tadei1

      1. Calculer la matrice M x P . Interpréter ses quatre coefficients.

      2. Quel a été le montant HT de la commande de A frais compris?

      3. Quel a été le montant HT de la commande de B frais compris  ?

     4. Pour le mois de juin l'entreprise modifie ses tarifs HT pour atteindre se objectifs.

                   Un pantalon est vendu :  x €.

                   Une  veste est vendue :   y €.

                   Une chemise est vendue : z €.

          Les distributeurs A et B maintiennent la même commande.

          Mais l'entreprise IBAYK souhaite que le distributeur A lui rapporte  HT sans les frais  2700 €.

          Elle souhaite aussi que le distributeur B lui rapporte  HT sans les frais 1170  €.

          a. Traduire les données par un système sous forme matricielle.

          b. Calculer les nouveaux tarifs HT , x , y , z.

    Remarque: • On sera amené à  trouver x et y en fonction de z,  vu le nombre d'équations insuffisant .

                         •  La résolution se fera à la main.

                         •   Dans le cas de z = 30  on pourra donner x et  y. 

        c. Donner pour chaque article le pourcentage de hausse.

             Remarque: On pourra tester  les pourcentages quand z = 30  )

        d. A et B envisagent de trouver un autre fournisseur pour les chemises.

                     Cela est-il justifié selon vous ?

                 Remarque: On pourra se placer dans le cas où  x = 30  y = 60  z = 30 

                 (   Tous les détails des calculs sont à écrire sur la copie. )

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      EXERCICE 2:

       Soit les deux matrices : 

                            Tadei2

           1. Calculer A2  à l'aide de la calculatrice                                      

         2. Soit a et b deux nombres réels.

                 Trouver la matrice carrée de type ( 3 , 3 ):          a A+ b I

          3. On pose:     A2 =   a A+ b I          noté ( 1 )

              Montrer que cette égalité se traduit par un système d'inconnues

              a et b que l'on résoudra.

          4. Mettre ( 1 ) sous la forme A x M = I  où M est une

               matrice que l'on caractérisera. 

         5.  Donner  M   avec ses coefficients.

        6. Calculer A − 1   . Que remarquez -vous ?

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         EXERCICE 3

      1. a. Mettre sous la forme matricielle  le système :

                      2 x + y + z = 4

                            2 y − z = − 5

                    3 x + 2 y + z = 4

           b.  Résoudre dans IR3 ce système .

           Remarque: IR3    est simplement l'ensemble des ( x , y , z ) où x , y et z sont 

                                 des nombres réels.

                                 Résoudre le sytème ces trouver tous les ( x , y , z ) de IR3 qui

                                respectent les 3 équations.

  2.   a. Mettre sous la forme matricielle  le système :

                       x + y −  2 z = 1

                       2 x +  2 y − z = 8

                        3 x −  y + z = 5

              b.  Résoudre dans IR3 ce système .

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    EXERCICE 4 

        La parabole P d'équation  y = a x2 + b x + c   dans un repère orthonormé du plan 

       passe par les points A( 1 ; 2 ) , B ( − 1 ; − 2 ) et C( − 2 ; − 7 ).                            

       1. Traduire  A est sur P , B est sur P , C est sur P

      2. Former un système d'inconnues a , b , c.

      3. Résoudre le système pour trouver les valeurs de a , b , c.

                                               Tadei4

          Remarque: La courbe n'est pas nécessaire pour répondre.

                                   C'est une simple information.

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