AIDE AU DEVOIR n° 1 24 septembre 2010 Nb COMPLEXES TS
1.a Il faut remplacer z par ib dans l'expression f( z ).
Il faut ensuite mettre l'expression obtenue sous la forme X + i Y avec X et Y
deux réels exprimés en fonction du réel b ou de puissances de b.
Le nombre complexe X + i Y est nul ssi X = 0 et Y = 0.
Donc f( ib ) = 0 se traduira par deux équations d'inconnue le réel b .
La résolution du systéme de ces deux équations non linéaires
donnera le ou les valeurs du réel b possible.
Choisir d'abord l'équation la plus simple pour trouver b.
Vérifier en reportant dans l'autre équation que b convient.
ib sera pour chaque valeur éventuelle de b trouvée un nombre complexe ,
imaginaire pur , solution de f( z ) = 0.
En regardant la question 2.a on peut se douter que 3 i et - 3 i seront les deux
imaginaires purs qui seront solutions de f(z) = 0, autrement dit vous devez
trouver b = - 3 ou b = 3 dans la question 1.a.
Vous pouvez utiliser :
i² = - 1 i3 = i × i² = - i i4 = i² × i² = 1
b. Les connaissances acquises en Première S demeurent et
s'appliquent.
Ainsi à partir du moment où le polynôme z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261
s'annule pour z = z0 alors il est factorisable par z - z0 ,
c'est-à-dire, qu'il peut s'écrire sous la forme ( z - z0 )× Q( z )
où Q( z ) est un polynôme de degré 3.
Cela veut dire que si z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261 s'annule pour
z = i b alors il peut se mettre sous la forme ( z - ib) × Q( z )
où Q( z ) est un polynôme de degré 3.
Donc si z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z + 261 s'annule pour pour z = i b et z= - i b
alors il peut se mettre sous la forme ( z - ib) × ( z + ib) ×T(z )
où T( z ) est un polynôme de degré 2 , c'est-à-dire de la forme
m z² + n z + s .
Pour obtenir T( z ) ce sont les mêmes méthodes qu'en première S.
Méthode par identification
On peut poser: T( z ) = m z² + n z + s où m , n , s sont trois réels et m non nul.
Puis on peut écrire : z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261 = ( z - ib) ×( z + ib)× (m z² + n z + s )
pour tout nombre complexe z. ( A mettre sur la copie )
On écrit le membre de droite sous la forme d'un polynôme en z de degré 4
en développant et réduisant.
On identifie alors les cœfficients des mêmes puissances de z
ainsi que les termes constants.
( Attention: On n' identifie pas les puissances de z mais les cœfficients )
Il n'y a plus qu'à résoudre un système d'inconnues m , n , s.
d'où le résultat demandé.
Méthode par division
Comme ( z - i b ) ( z + ib) = z² + b²
On divise directement z4 - 10 z3+ 38 z2 - 90 z + 261 par z² + b²
| z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261 | | z² + b² |
| - ( z4 + b² z² ) | | z² |
| - 10 z3 + ( 38 - b² )z2 - 90 z +261 | | |
| | | |
z4 disparaît par soustraction
Seconde étape pour faire disparaître - 10 z3
| z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261 | | z² + b² |
| - ( z4 + b² z² ) | | z² - 10 z |
| - 10 z3 + ( 38 - b² ) z2 - 90 z +261 | | |
| - ( - 10 z3 - 10 b² × z ) | | |
| ( 38 - b² )z2 - ( 90 - 10 b² ) z +261 |
- 10 z3 disparaît par soustraction
Troisième étape pour faire disparaître le terme en z²
On continue jusqu'à avoir le reste nul.
| z4 - 10 z3 + 38 z2 - 90 z +261 | | z² + b² |
| - ( z4 + b² z² ) | | z² - 10 z + ( 38 - b² ) |
| - 10 z3 + ( 38 - b² )z2 - 90 z +261 | | |
| - ( - 10 z3 - 10 b² × z ) | | |
| ( 38 - b² ) z2 - ( 90 - 10 b² ) z + 261 | |
| - [ ( 38 - b² ) z2 + b² ( 38 - b² ) ] | |
| 0 | |
( 38 - b² ) z2 disparaît par soustraction.
Vous constaterez que : 90 - 10 b² = 0
b² ( 38 - b² ) = 261
Le reste est donc nul.
Sinon refaites vos calculs.
Ainsi T( z ) = z² - 10 z + ( 38 - b² )
Donc m = 1 n = - 10 s = 38 - b²
c. Pour résoudre f( z ) = 0 il suffit de savoir qu'un produit de facteurs
est nul ssi l'un au moins des facteurs est nuls.
Concrètement seule la résolution de z² - 10 z + ( 38 - b² ) = 0
reste à faire.
Vous allez trouver pour f( z ) = 0 quatre solutions distinctes ou confondues
dans l'ensemble des nombres complexes car f( z ) est de degré 4 .
La connaissance du degré du polynôme donne systématiquement
le nombre de racines distincte ou confondues dans l'ensemble
des nombres complexes.
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Pour la suite voir l'aide 2