DS n° 1 Lundi 4 octobre 2010 TS2
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EXERCICE 1 10 points
Soit le polynôme : P( z ) = z3 + z2 + 3 z - 5 où z est un nombre complexe.
1. a. Résoudre l'équation z2 + 2 z + 5 = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
b. Montrer que P( z ) admet une racine réelle évidente z0 .
2. Trouver par la méthode de votre choix trois réel a , b , c tels que :
P( z ) = ( z - 1 ) ( a z2 + b z + c ) pour tout nombre complexe z.
3. Résoudre P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
On donnera pour chaque solution la forme algébrique et une forme trigonométrique.
4. Soit les points A ( 1 ) , B( -1 + 2 i ) et C(- 1 - 2 i ).
a. Représenter ces points.
b. Quel est la nature du triangle ABC ?
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EXERCICE 2 10 POINTS
Soient A( 2 i ) , B( - √3 + i ) , C ( -√3 - i ) .
On pose Z = ( zA - zB ) / ( zC - zB ) .
Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
1. Faire une figure que l’on complétera par la suite.
Donner la forme exponentielle de Z.
2. En déduire que ( vect( BC ) , vect( BA ) ) = 2 π / 3 ( 2 π ).
3. Trouver l’affixe du point D du plan tel que le quadrilatère ABCD soit
un parallélogramme.
4. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :
|| vect( MA ) + vect( MB )+ vect( MC ) || = 5
5. Soit R la rotation de centre B et d’angle π / 3 .
a. Déterminer la traduction complexe de R.
b. Trouver l’affixe de l’image E du point C par R.
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