DS n°2 Nb Complexes 22/10/10

            DS  n° 2         Nombres Complexes                        TS2              22/10/10        1h 

            EXERCICE 1

                    Le plan est muni d'un repère orthonormal direct .

                    Soit  z un nombre complexe distinct de 1. 

                    Soit le nombre complexe Z tel que :

                                                   

               1. Soit   z = x + i y  la forme algébrique de z.

                   a.  Quelle condition doit-on imposer à x et y pour que Z existe?

                   b.  Montrer que :  Re( Z ) = ( - x² - y² + 2 - x ) / (  ( 1 - x )² + y² )

                          et             Im( Z ) = - 3 y  / ( ( 1 - x )² + y² )

                   c. Montrer que l'ensemble des points M( z ) du plan tels que Z soit un réel est

                      une droite D privée d'un point.

                  d. Montrer que l'ensemble des points M( z ) du plan tels que Z soit un

                       imaginaire pur ( au sens large ) est un cercle ( C ) privé d'un point .

                  e. Représenter D et ( C ) .

              EXERCICE 2

                  1.  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation:

                       z3  +  z2 + z + 1 = 0         (  1 )

                      ( On cherchera d'abord une racine évidente. )

                      Donner la forme algébrique et la forme exponentielle des solutions.

                  2. a. Justifier que pour tout nombre complexe z distinct de 1 on a :

                           1 + z +  z2  + z3    = ( 1 - z4 ) / ( 1 - z )

                     b. En déduire une nouvelle résolution de  l'équation ( 1 )

             EXERCICE 3

                      Résoudre dans IR l'équation:  cos x + sin x = 1

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