DS n ° 3 Vendredi 12 novembre 2010 TS2
EXERCICE 1 6 POINTS
Soit les nombres complexes z = 1 + i et z ' = 1 + i √3 .
1. Donner la forme algébrique de z × z ' .
2. Donner les formes trigonométriques de z et z ' , puis celle de z × z ' .
3. En déduire les valeurs exactes de cos ( 7π / 12 ) et sin ( 7π / 12 ) .
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EXERCICE 2 11 POINTS
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.
Soit les points A , B , C d'affixes respectivement
zA = - 1 zB = 1 - 3 i zC = 2 + 2 i
1. Placer les points A , B , C .
2. Déterminer une mesure θ de l'angle orienté ( vect( AB ) , vect( AC ) ).
3. Donner la traduction complexe de la rotation r de centre A et d'angle θ.
4. Quelle est l'image du point B par r ?
5. Soit le point E symétrique de B par rapport à A.
Donner l'affixe de E.
6. Trouver et représenter l'ensemble des points M d'affixe z du plan tels
( z - zE ) / ( z - zB ) soit un imaginaire pur ( au sens large ).
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EXERCICE 3 3 POINTS
Soit a et b deux nombres réels.
On sait que : cos( a + b ) = cos( a ) × cos( b ) - sin( a ) × sin ( b )
cos ( a - b ) = cos( a ) × cos( b ) + sin( a ) × sin ( b )
a. En déduire que: cos( a ) × cos ( b ) = ( 1 / 2 ) × [ cos( a + b ) + cos ( a - b ) ]
sin( a ) × sin ( b ) = ( 1 / 2 ) × [ cos( a - b ) - cos ( a + b ) ]
b. Soit x un nombre réel:
Exprimer le produit cos ( x ) × cos ( 3 x ) comme une somme.
c. On pose: a + b = α et a - b = β
Etablir que : cos ( α ) + cos ( β ) = 2 cos( (α + β ) / 2 ) × cos ( (α - β ) / 2 )
d. Soit x un nombre réel:
Exprimer la somme cos ( x ) + cos ( 3 x ) comme un produit.
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