DS n° 3 TS2 14/11/11

                               DS n ° 3       TS2           Lundi 14 novembre  2011              2 h

          EXERCICE 1

                 Le plan est muni d’un repère orthonormal   

                        repere-ds-n-8-1s-12-mai-2010-jaune.gif.

                                  On admet les deux résultats suivants :

     •  « En  + ∞ comme en - ∞   une fonction polynôme a le même comportement

       que celui de son monôme de plus haut degré. »

      •   « En  + ∞ comme en - ∞   une fonction rationnelle a le même comportement

       que celui du quotient simplifié de ses monômes de plus haut degré. »   

             1.      Soit la fonction f: x→ x3 - 3 x - 3  définie sur  IR

                       Déterminer la limite de f en +∞ .

             2.      Soit la fonction  g : x → ( 2 x2 - x + 4 ) / ( x - 1 )   définie sur IR- {1}.

                   a. Déterminer  la limite de g en + ∞ .

                   b. Déterminer trois réels a , b , c tels que

                      g( x ) = a x + b + c /  ( x - 1 )     pour tout x dans IR- { 1 }.

                 c. Montrer que la courbe de la fonction g admet

                    une asymptote oblique D en  + ∞ et en  - ∞ ainsi

                    qu’ une asymptote  verticale  Δ que l’on précisera.

                d. Donner les positions relatives de D et de la courbe( C ) de la fonction g.

             3. Soit la fonction h : x  → √( x + 1)   - √ x

                 Déterminer sa limite en + ∞ .     

             4.  a. Trouver la limite en  + ∞ de √( x2 + x + 1 ) - x.

                 b. En déduire que la courbe de la  fonction k : x  →√( x2 + x + 1 )

                     admet une asymptote oblique en  + ∞.

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         EXERCICE 2

            Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

                 rep-directe-1.gif

            Soit les points A( i ) et B( - 2 i ).

           On appelle équation paramétrique d’un cercle de centre  Ω d’affixe zΩ

            de rayon r l’égalité   z =   zΩ  + r eiΘ   où  Θ  est dans IR.                                                        

             A tout point M( z ) du plan distinct du point A( i ) on associe le point  M' ( z ' )

             tel que :    z ' = ( z + 2 i ) / ( z - i )

          1.Déterminer l’ensemble E des points M ( z ) du plan tels que

              z ' soit un imaginaire pur.

             Représenter E.

          2. Donner une équation paramétrique de  E U { A }.

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                                                           Bon courage