EX FAIT LE 19 OCT 2010 TS2

                EXERCICE                         MARDI  19 OCT 2010   devant  11 / 24     élèves TS2

          EXERCICE       Suite à une demande des élèves présents.

                            Soit     Z = ( z +1 + i ) / ( z - i )

                            avec z un nombre complexe distinct de i .

                 1.  Trouver l'ensemble des points M( z ) tels que Z soit dans iIR.

                            iIR = { b i / b dans IR } 

                          C'est l'ensemble des imaginaires purs.

                 2. Trouver l'ensemble des points M(z ) tels que Z soit dans IR-  .

                        IR-  =  [ 0 ,  + ∞ [ .

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           Réponse:

                 1.  Il y a une méthode géométrique et une méthode analytique.   

                      Méthode géométrique. 

                      Soit les points A( -1 - i ) et B ( i )

                      Alors  Z = (  z - zA  ) / (  z - zB )    avec  z ≠   zB 

                      Premier cas .      Z = 0     c-à-d       z - zA = 0     c-à-d    z = zA . 

                             Dans ce cas     M = A

                     Second cas

                                            Z   est dans iIR - { 0 }.   On a :     z ≠   zA   et      z ≠   zB 

                                Z est de la forme  i b avec   b > 0    ou   de la forme ib avec b < 0.

                             Donc :

                                         arg( Z ) =  π /2    (   2 π )   ou     arg( Z ) = - π /2    (   2 π ) 

                            c-à-d    en résumé     arg( Z ) =  π /2    (  π )

                   Mais       ( vect (BM ) , vect( AM ) ) = arg(  (  z - zA  ) / (  z - zB ) )     ( 2 π  )

               c-à-d           ( vect (M B) , vect( MA ) ) = arg( Z )  ( 2 π  )

                     Donc    ( vect (M B) , vect( MA ) ) =    π /2    (  π )

                  Ainsi les vecteurs  vect( MB ) et vect( MA ) sont non nuls et orthogonaux.

                                 Dans ce cas  M décrit le cercle de diamètre [ AB] privé de A et B.

                                                      

                            Conclusion :  L'ensemble des points M cherché est le

                                           cercle de diamètre [AB ] privé du point B.          

                         Méthode  analytique  

                               On pose z = x + i y        avec    ( x ; y )  ≠  ( 0 ; 1 )  

                            On a :       Z = ( z + 1 + i ) / ( z - i )

                               Mettons Z sous la forme algébrique.

      c-à-d              Z = ( x + i y + 1 + i ) / ( x + i y - i )

       c-à-d              Z = ( x + 1 + i ( y + 1 )  ) / ( x + i(  y - 1 ) )

       c-à-d             Z = [ ( x + 1 + i ( y + 1 )  ) (   x - i (  y - 1 ) )  ]  / | x + i(  y - 1 ) |²

        c-à-d           Z = [ (x + 1) x + ( y + 1 ) ( y - 1 ) + i ( y + 1 ) x - i ( y - 1 ) ( x + 1 ) ] / ( x² + ( y - 1 )² )

      c-à-d       Z = [ x² + x + y² - 1 + i ( y x + x - y x + 1 + x- y ) ] /  ( x² + ( y - 1 )² )

       c-à-d       Z = [ (  x² + y² +  x  - 1 )  + i ( 2 x - y + 1  ) ] /  ( x² + ( y - 1 )² )

                     Ainsi  Z est dans iIR ssi      x² + y² +  x  - 1 = 0 avec ( x ; y )  ≠  ( 0 ; 1 )

                       x² + y² +  x  - 1 = 0   s'écrit     ( x + 1 / 2 )² + y²  - 1 - 1 / 4 = 0

                                                    c-à-d          ( x -  0, 5  )² +(  y -  0 )²   = 5 / 4 

                             C'est l'équation du cercle de centre K( 0,5 ; 0 ) et de rayon  √5   /  2.

                    Conclusion : L'ensemble cherché est le cercle de centre  K( 0,5 ; 0 )  et de rayon  √5   /  2

                         privé du point B( 0 ; 1 ) .

                   On retrouve le même résultat.

                   2.  Distinguons deux cas.             

                           Premier cas.     Z = 0     c-à- d     z =  zA  

                                            On retrouve:   M =  A    ( "Copier coller " )      

                            Second cas.       Z < 0         

                                                Z est un réel strictement négatif .   On a :   z ≠   zA  et  z ≠   zB  

                                 Donc              arg( Z )  =  π    (  2π )

                                  c-à-d            ( vect (MB ) , vect ( MA ) ) =  π    (  2π )

                                  c-à-d          les vecteurs  vect( MB )  et vect( MA ) sont non nuls ,

                                                      colinéaires et de sens contraires.

                                 Dans ce cas les points M décrivent le segment [ A B ] privé de A et B.

                                                    A [----------------[  B

                        Conclusion : L'ensemble cherché est le segment [ AB ] privé du point B.

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