INFO 1 Liste 3 EX Nb COMPLEXES

INFO 1Liste 3 EX Nb COMPLEXES

                                              INFO LISTE 3 D'EXERCICES        NOMBRES COMPLEXES                  Vendredi 30 sept.2010

         EXERCICE 43  page 298   

            Soit les trois points A( 3 + i ) , B( 2 i ) , C( 2 - 2 i ).

            1. Donner la forme algébrique du quotient :  ( zC - zA ) / ( zB - zA ) 

               En déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.

           2. Déterminer l'affixe du point  D  tel que ABCD soient les sommets d'un 

              parallélogramme.

           3. Trouver l'affixe du point E, image du point D, par la translation de vecteur

                 vect( CA ).

              Déterminer  la nature du quadrilatère  ACDE.

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  Réponse:

        1.   On a :     ( zC - zA ) / ( zB - zA ) =  [ 2 - 2 i - ( 3 + i ) ]  / [ 2 i - ( 3 + i ) ]

              c-à-d     ( zC - zA ) / ( zB - zA ) = (   - 1  - 3 i ) / ( - 3 +  i )

               c-à-d    ( zC - zA ) / ( zB - zA ) =   (  i²  - 3 i )   / ( - 3 +  i )

               c-à-d    ( zC - zA ) / ( zB - zA ) =   i  ( i - 3  ) /  ( - 3 +  i )   = i

                  Conclusion :     ( zC - zA ) / ( zB - zA ) = i

                  On peut écrire :      ( zC - zA )   = i ( ( zB - zA ) 

                  Ainsi la rotation de centre A et d'angle    π  / 2  transforme  B en C .

                   Conclusion :     Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.

                 

          2.    On doit avoir     vect( CD ) = vect( BA ).

                                           zD  - zC  =  ( zA -  zB )

                            c-à-d       zD  = zC + ( zA -  zB ) 

            ( On peut dire aussi que D est l'image de C par la translation de vecteur  vect( BA )   )

                            c-à-d        zD  = 2 - 2 i + ( 3 + i  - 2 i )  = 5 - 3 i

                              Conclusion :  zD  =  5 - 3 i               

                                         

         3.               On a :            vect( DE )  = vect( CA )

                        c-à-d                  zE - zD =  zA - zC

                         c-à-d                    zE     =  zD  + zA - zC     

                         c-à-d                     zE     =   5 - 3 i + 3 + i  - ( 2 - 2 i )

                          c-à-d                     zE     = 6 

                             Conclusion :   zE     = 6   

                        

                       Le quadrilatère ACDE est un carré :

                                En effet :

                                                 •   On a :      vect( CA ) = vect( DE )  

                                                      Donc :

                                                       Le quadrilatère   ACDE   est  un parallélogramme.

                                                 •      vect( BA ) = vect( CD )   Donc    BA = CD

                                                         AC = AB   car le triangle ABC est isocèle en A.

                                                          Donc     CD = CA

                                                    Le parallélogramme ACDE est un losange.

                                                   • On a :

                                                              (  vect( AB ) , vect( AC ) )  = ( vect( DC ) , vect( AC ) )   ( 2  π   )

                                                         c-à-d                π  / 2    =     ( vect( DC ) , vect( AC ) )   ( 2  π   )

                                                          c-à-d            ( vect( CD ) , vect( CA )   =       π  / 2      ( 2  π   )

                                                        L'angle en C est droit.

                                                            Le  losange ACDE est un carré. 

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