INFO 2 LISTE 3 D'EXERCICE               NOMBRES COMPLEXES           TS     30 SEPT 2010  

       EXERCICE 45  page 298           

                         Soit les points E( 1 + i ) , F( 1 - i ) , G( - i √3 ) .

                         1. Soit le point N = S_F ( G ) . 

                              Etablir que   z_N =  2 + i ( √3 - 2 )

                           2. Soit R la rotation de centre O et d'angle  π / 2 .

                                 Soit les points  A = R ( G )     et    C = R ( N ).

                                 Donnez les affixes des points A et C.

                           3. Soit T la translation de vecteur vect( w ) d'affixe 2 i .

                               On considère les points  D = T( G ) et  B = T( N ).

                                Trouver les affixes des points D et B.

                           4. Montrer que le point E est le milieu des segments

                              [ BD ]  et [ AC ] .

                              Calculer   ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )      

                                et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

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       Réponse:

               1. Donnons z_N .

                  Comme   N  = S_F ( G )   on peut dire que N est l'image de G par la rotation R' de centre

                        F et d'angle π.

                    Or R'  a pour traduction complexe :

                                                        z ' - z_F  = e^iπ  ( z - z_F  )

                                                  avec le point M( z ) d'image M '( z ' ).

                     Ainsi la traduction complexe de R est : 

                                                       z' = - ( z -  z_F  ) +  z_F 

                                                   avec le point M( z ) d'image M '( z ' ).

                  c-à-d encore  :

                                                        z' = - ( z -  ( 1 - i ) ) +  1 - i

                                                         avec le point M( z ) d'image M '( z ' ).

                    Donc :

                          N  = S_F ( G )    se traduit par       z_N     =   - (   z_G  -  ( 1 - i ) ) +  1 - i  

                         c-à-d                                            z_N     =   - (  - i √3  -  ( 1 - i ) ) +  1 - i

                         c-à-d                                             z_N      =    i√3  + 1 - i + 1 - i

                      Conclusion :      z_N =  2 + i ( √3 - 2 ) 

                 Autre méthode :   Sans la notion de rotation:                  

                     On a  F qui est le milieu du segment [ N G].      

                    Donc cela se traduit par F est l'isobarycentre de N et G.

                               c-à-d                        z_F    =   (  z_N   +   z_G   ) / 2   

                    On peut ainsi  isoler r  z_N  .

                  En effet :                z_N     =  2  z_F    -    z_G     

                     c-à-d                  z_N     = 2  ( 1 - i )    -  ( -   i√3 ) 

                     c-à-d                  z_N     = 2 - 2 i +   i√3

                           Conclusion :     z_N     = 2  + i ( √3   - 2 )                                  

              2. Donnons les affixes des points A et C sachant que

                           A = R ( G )     et    C = R ( N ).

                          R a pour traduction complexe :                         

                                                      z ' - z_O  = e^iπ/2  ( z - z_O  )

                                                  avec le point M( z ) d'image M '( z ' ).

                             c-à-d           

                                                   z '  = i  z

                                                  avec le point M( z ) d'image M '( z ' ).

                    Il suffit donc de multiplier l'affixe d'un point par i pour avoir l'affixe de son image.

                     Donc:    z_A   = i z_G         c-à-d       z_A   = i ( -  i  √3  )

                                                                            z_A   =√3                      

                                   z_C   = i z_N           c-à-d                     z_C  = i ( 2 + i (  √3  - 2 )  )

                                                             c-à-d                     z_C   = 2 i + i² ( √3 - 2 )

                                                              c-à-d                    z_C    =  2 i - ( √3 - 2 ) = 

                                                              c-à-d                    z_C    = - √3 + 2 + 2 i        

                                         Conclusion :           z_A   =√3                    z_C    = - √3 + 2 + 2 i      

             3.  Donnons les affixes des point D et B.

                            On a:       D = T( G )    et  B = T( N ).

                           La  T la translation de vecteur vect( w ) d'affixe 2 i  est de traduction

                           complexe:              z '  = z + 2 i 

                                                          avec le point M( z ) d'image le point M(z' )

                             On considère les points  D = T( G ) et  B = T( N ).

                              Il suffit donc d'ajouter 2i aux affixes des points G et N pour avoir

                              celles respectivement des points D et B.

                          Ainsi :

                                        z_D = z_G + 2 i             c-à-d      z_D = - i √3 + 2 i   = i( 2 - √3 )

                           et               z_B = z_N + 2 i             c-à-d       z_B = 2 + i ( √3  -  2 )  + 2 i   =  2 + i √3       

                                   Conclusion :           z_D   =  i ( 2 - √3 )             z_B    =    2 + i √3    

             4.    • Montrons  que le point E est le milieu des segments

                              [ BD ]  et [ AC ] .

                             Il suffit de montrer que:       ( z_B    +     z_D   ) / 2  = ( z_A    +     z_C   ) / 2

                            Or :     

              ( z_B    +     z_D   ) / 2  = (  2 + i √3    +  i  ( 2 - √3 )  ) / 2  = ( 2  + 2 i ) / 2 =   1 + i 

    et      ( z_A    +     z_C   ) / 2  = ( √3  + ( - √3 + 2 + 2 i ) ) / 2  = ( 2  + 2 i ) / 2 =     1 + i 

                  On a bien :     ( z_B    +     z_D   ) / 2  = ( z_A    +     z_C   ) / 2

                               Conclusion :   Le point E est le milieu des segments  [ BD ]  et [ AC ] .                 

                      • Calculons   ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  .    

                             On a :   

                                  ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  =  ( - √3 + 2 + 2 i  -  ( 1 + i ) )  /  (   2 + i √3   - ( 1 + i ) )

              c-à-d              ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  =  ( ( 1 - √3 ) + i ) / ( 1 + i ( √3 - 1 ) )

               c-à-d               ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  = ( i² ( √3 - 1 ) + i ) / ( 1 + i ( √3 - 1 ) )    sachant   i² = - 1

             c-à-d         ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  =  i ( i ( √3 - 1 ) + 1   ) / ( 1 + i ( √3 - 1 ) ) = i

                            Conclusion :        ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  = i                  

                      • Déduisons  la nature du quadrilatère ABCD.

                              Comme les segments  [ BD ]  et [ AC ] ont le même milieu

                              le  quadrilatère ABCD est déjà un parallélogramme.

                            De plus :   ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  =  i  = e^iπ/2       ( 1 )

                               Donc 

                                      •    arg( ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  =  π / 2    (  2 π )

                      Donc :             ( vect( EB ) , vect( EC ) ) = π / 2    (  2 π )

                                    •       |( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E ) |  = |  i | = 1

                                              EC / EB   = 1     c-à-d    EC = EB

                     Donc les diagonales  du quadrilatère  ABCD  sont orthogonales et de même longueur.

                                        Conclusion :     Le quadrilatère ABCD est un carré.                                    

                  REMARQUE:

                      On pouvait dire que   ( z_C - z_E ) / ( z_B - z_E )  =  i   s'écrivait aussi

                         ( z_C - z_E ) = i  ( z_B - z_E )  

                       Ce qui montre que le point C est l'image du point B par

                       la rotation de centre E et d'angle   π/ 2 .

                       Donc le parallélogramme ABCD est un carré.   

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