INFO 3 LISTE 3 EX Nb COMPLEXES

INFO 3 LISTE 3 EX Nb COMPLEXES

                 INFO 3   LISTE  3 D'EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES

              EXERCICE 3 d'après le n° 46 page 298         

                  Soit les points M1 , M2 , M3 d'affixes respectives

                        z1  =  √3  - i             z2    =  √3  + i             z3    =   2i

                  Soit r la rotation de centre O et d'angle  π / 3 .

                   1. Trouver les affixes des points r( M1 )  et r( M2 ) .

                       Montrer qu'alors :         M2  =  r( M1 )     et   M3  =  r( M2 ) 

                    2. En déduire que le quadrilatère O M1  M2  M3   est un losange.

                                   

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                    Réponse:

                        1.  La traduction complexe de la rotation r de centre O et d'angle π / 3

                                est :        z' = ei π / 3    z

                                                  avec    le point M( z ) d'image le point M' ( z ' ) .

                                            c'est-à-dire   z '  = [ ( 1 + i √3 ) / 2 ]  z

                            On a :   

          [ ( 1 + i √3 ) / 2 ]  z1  =  [ ( 1 + i √3 ) / 2 ]  ( √3  - i   ) = (  √3  - i  + 3i - i² √3 ) / 2

    c-à-d   

            [ ( 1 + i √3 ) / 2 ]  z1  = (  2 √3 + 2 i ) / 2 = √3  + i  =  z2 

                     Conclusion :      On a bien  M2  =  r( M1 ) 

               On a :

       ( 1 + i √3 ) / 2 ]  z2  =  [ ( 1 + i √3 ) / 2 ]  ( √3  + i   ) =( √3  + i + 3 i + i² √3 ) / 2 = 4 i / 2  = 2 i = z3 

                        Conclusion :      On a bien  M3  =  r( M2 ) 

                        2. Comme     M2  =  r( M1 )    le triangle O M1  M2  est équilatéral.

                               Ainsi        O M1  = OM2   = M1M2                        

                              Comme     M3  =  r( M2 )    le triangle O M2   M3  est équilatéral.

                               Ainsi        O M3  = OM2   = M2M3

                                         Donc  le quadrilatère O M1  M2  M3   a ses côtés de même longueur.

                             Conclusion : Le quadrilatère O M1  M2  M3  est un losange.

                                

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