INFO DS n° 3 TS2 14 nov 2011

             INFO   DS n ° 3       TS2           Lundi 14 novembre  2011              2 h

          EXERCICE 1

                 Le plan est muni d’un repère orthonormal   

                        .

                                  On admet les deux résultats suivants :

     •  « En  + ∞ comme en - ∞   une fonction polynôme a le même comportement

       que celui de son monôme de plus haut degré. »

      •   « En  + ∞ comme en - ∞   une fonction rationnelle a le même comportement

       que celui du quotient simplifié de ses monômes de plus haut degré. »   

             1.      Soit la fonction f: x→ x³ - 3 x - 3  définie sur  IR

                       Déterminer la limite de f en +∞ .

                  Réponse:                       

                  Comme f est une fonction polynôme dont le terme de plus haut degré est

                          x³     on a :         lim f     =      lim  x³    = +∞

                                                     + ∞               x→ + ∞

                     Conclusion :     lim f     = +∞

                                              +∞

             2.      Soit la fonction  g : x → ( 2 x² - x + 4 ) / ( x - 1 )   définie sur IR- {1}.

                   a. Déterminer  la limite de g en + ∞ .

                  Réponse:

                  D_g =  ] - ∞  , 1 [ U  ] 1  , + ∞  [

                  + ∞    est  une extrémité 'un intervalle de définition de g.

                  Comme g est une fonction rationnelle considérons en  + ∞  le 

                  quotient  simplifié de ses termes de plus haut degré.

                  Soit x ≠ 0  on a :    2 x²   / x  = 2 x

                  Or        lim 2 x    = +∞

                              x→ + ∞

                 Conclusion :      lim g    =   +∞

                                            + ∞

                   b. Déterminer trois réels a , b , c tels que

                      g( x ) = a x + b + c /  ( x - 1 )     pour tout x dans IR- { 1 }.

                    Réponse:

                      Utilisons la division :

                    Ainsi  pour tout x dans IR- { 1 } on a :

                                         g( x ) = [ ( 2x + 1 ) ( x - 1 )+ 5 ] / ( x - 1 )

                 c-à-d                   g(x ) = 2 x + 1 +   5  / ( x - 1 )

             Conclusion :   a = 2           b = 1       c = 5  

                 c. Montrer que la courbe de la fonction g admet

                    une asymptote oblique D en  + ∞ et en  - ∞ ainsi

                    qu’ une asymptote  verticale  Δ que l’on précisera.

              Réponse :

             •  Recherche de l'asymptote oblique.

                     Soit x ≠ 1 .

              On a :    g(x ) = 2 x + 1 +   5  / ( x - 1 )

                c-à-d      g( x ) - ( 2 x + 1 ) = 5 / ( x - 1 )

             Or     lim  5 / ( x - 1 ) = 5 / + ∞   = 0     

                     x → + ∞

                et     lim 5 / ( x - 1 ) =  5 / - ∞ = 0

                       x → -  ∞

           D'où     lim ( g( x ) - ( 2 x + 1 ) )   = 0   

                     x → + ∞

           et       lim ( g( x ) - ( 2 x + 1 ) )   = 0   

                       x → -  ∞

             On peut conclure:

               Conclusion :   La droite oblique D : y = 2 x + 1 est une  asymptote à C_g 

                                            en + ∞  et en - ∞.

               •  Par ailleurs :

                    lim ( 2 x² - x + 4 ) / ( x - 1 ) = 5 / 0⁺  = + ∞

                     x → 1⁺

   et            lim ( 2 x² - x + 4 ) / ( x - 1 ) = 5 / 0 ^-  = - ∞

                     x → 1 ^-

    c-à-d        lim g = + ∞

                      1⁺

         et      lim g = - ∞

                      1 ^-  

            On peut conclure :

       Conclusion :  La droite verticale  Δ  : x = 1 est bien une asymptote  à C_g  

                  d. Donner les positions relatives de D et de la courbe( C ) de la fonction g.

                      Réponse:

            • Soit x > 1.

                     Alors     5 / ( x - 1 ) > 0   c-à-d      g( x ) - ( 2 x + 1 ) > 0

            Donc: 

                 Sur l'intervalle ] 1 , + ∞[     la courbe C_g   est au dessus de D.

            •  Soit x <1.

                     Alors     5 / ( x - 1 ) < 0   c-à-d      g( x ) - ( 2 x + 1 ) < 0

            Donc:

                       Sur l'intervalle ]  - ∞ , 1 [     la courbe C_g   est au dessous de D.

             3. Soit la fonction h : x  → √( x + 1)   - √ x

                 Déterminer sa limite en + ∞ .     

              Réponse :

                h est définie sur IR⁺ c-à-d  D_h  = [ 0 , + ∞ [.

               Comme   + ∞   est une extrémité de l'intervalle de définition

               on peut faire la recherche.

                  Soit x > 0  .  (  IL N'EST PAS JUDICIEUX DE FACTORISER √ x  CAR

                                           + ∞ × 0   NE VEUT RIEN DIRE. )

         On a :    h( x ) = ( √( x + 1)  - √ x ) ( √( x + 1)   + √ x ) / ( √( x + 1)   + √ x )

                     ( en multipliant en haut et en bas par l'expression conjuguée )

         c-à-d       h( x ) = ( √( x + 1) )²   - (  √ x ) ² ) / ( √( x + 1)   + √ x )

                          ( à l'aide d'une égalité remarquable )

         c-à-d      h( x ) = ( x + 1 -  x ) / ( √( x + 1)   + √ x )

         c-à-d      h( x ) = 1 / ( √( x + 1)   + √ x )

          Mais     √( x + 1)   + √ x > √ x    et       lim √ x =  + ∞

                                                                    x →  + ∞

              Ainsi           lim ( √( x + 1)   + √ x  ) = + ∞

                                 x →  + ∞

            d'où       lim   1 / ( √( x + 1)   + √ x  ) = 1 /+ ∞ = 0

                           x →  + ∞

              Conclusion :   lim h = 0

                                      + ∞

             4.  a. Trouver la limite en  + ∞ de √( x² + x + 1 ) - x.

                 Réponse :

                   x² + x + 1 > 0   pour tout réel  x    car Δ < 0  et a > 0

                  Soit x > 0.

   On a :      √( x² + x + 1 ) - x = ( √( x² + x + 1 ) - x ) ( √( x² + x + 1 ) + x ) / ( √( x² + x + 1 ) + x )

               ( en multipliant en haut et en bas par l'expression conjuguée )    

c-à-d     √( x² + x + 1 ) - x =  ( x² + x + 1 ) - x² ) / ( √( x² + x + 1 ) + x )

                 ( à l'aide d'une égalité remarquable )

c-àd    √( x² + x + 1 ) - x =  ( x + 1  ) / ( √( x² + x + 1 ) + x )

            (  En factorisant  x au numérateur et au dénominateur )

c-à-d    √( x² + x + 1 ) - x = [ x ( 1 + 1 / x ) ] / [ x ( √( 1 +( 1/ x ) + ( 1/ x² ) ) + 1 )]

                (    En simplifiant par   x    )

c-à-d   √( x² + x + 1 ) - x =   ( 1 + 1 / x )  / ( √( 1 +( 1/ x ) + ( 1/ x² ) ) + 1 )

    On a :      lim ( 1 +( 1/ x ) + ( 1/ x² ) ) = 1    et       lim √ x = 1

                    x →  + ∞                                              x →  1    

      Donc         lim    (√( 1 +( 1/ x ) + ( 1/ x² ) ) = 1

                      x →  + ∞  

    On a       lim  ( 1 + 1 / x )  = 1

                   x →  + ∞  

   On en déduit que:

         lim ( 1 + 1 / x )  /  ( √( 1 +( 1/ x ) + ( 1/ x² ) ) + 1 )  = 1 / ( 1 + 1 )  = 1 / 2

        x →  + ∞   

      Conclusion :   lim  ( √( x² + x + 1 ) - x ) =  1 / 2

                            x →  + ∞

                 b. En déduire que la courbe de la  fonction k : x  →√( x² + x + 1 )

         EXERCICE 2

            Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

            Soit les points A( i ) et B( - 2 i ).

           On appelle équation paramétrique d’un cercle de centre  Ω d’affixe z_Ω

            de rayon r l’égalité   z =   z_Ω  + r e^iθ   où  θ  est dans IR.                                                        

             A tout point M( z ) du plan distinct du point A( i ) on associe le point  M' ( z ' )

             tel que :    z ' = ( z + 2 i ) / ( z - i )

          1.Déterminer l’ensemble E des points M ( z ) du plan tels que

              z ' soit un imaginaire pur.

             Représenter E.

            Réponse :

           On a  pour   z   ≠   i  

              z ' = ( z - ( - 2 i) ) / ( z - i ) = ( z - z_B ) / ( z -  z_A )

         Ainsi   z'  imaginaire pur se traduit par  ( z - z_B ) / ( z -  z_A ) est dans  i IR

             c-à-d  

               •   z - z_B   = 0   c-à-d    z = z_B   

                               Le point M est en B . Donc B est dans E

               •   z - z_B  ≠  0   et   z -  z_A   ≠  0     arg( ( z - z_B ) / ( z -  z_A ) ) = π  / 2  (  π )

                  c-à-d    M ≠  B et  M ≠  A   et ( vect(AM ) , vect( BM ) ) =  π  / 2  (  π )

                  c-à-d   les vecteurs  vect( AM ) et vect( BM ) sont non nuls et orthogonaux

                 c-à-d   Le point M décrit le cercle de diamètre [ AB] privé de A et B.

          Finalement :

        Conclusion :  E est le cercle de diamètre [ AB  ] privé seulement du point A ( i ).

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                                                           Bon courage