INFO DS n° 3 TS2 12/11/10

                                   INFO DS n ° 3         Vendredi 12 novembre 2010                    TS2         

             EXERCICE 1                 6 POINTS

                   Soit les nombres complexes z = 1 + i   et  z ' = 1 + i √3 .

                   1. Donner la forme algébrique de  z × z ' .

                   2. Donner les formes trigonométriques de z et z ' , puis celle de z × z ' .

                   3. En déduire  les valeurs exactes de cos ( 7π / 12 )  et sin ( 7π / 12 ) .

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               Réponse:

                      1. On a :                 z × z ' = ( 1 + i  ) ×(  1 + i √3 )

                             c-à-d              z × z ' = 1 + i² √3  + i ( 1 + √3 )

                             c-à-d               z × z ' =   1 -  √3  +   i ( 1 + √3 )

                   Conclusion:   La forme algébrique est    z × z ' =   1 -  √3  +   i ( 1 + √3 )

                        2.      • Recherche de la forme trigo de   1 + i .

                                  On a :      | 1 + i | = √( 1² + 1² ) = √2

                                                        Considérons un réel θ tel que :

                                                               cos θ = 1 / √2

                                                                sin θ =1 / √2

                                                    Alors    θ = π / 4  convient.

                                                    Ainsi:         z = 1 + i = √2 ( cos( π / 4 ) + i sin( π / 4 )  )

                                •  Recherche de la forme trigo de  1 + i √3

                                    On a :                     |  1 + i √3 | = √( 1² + (√3 )² ) = √4    = 2                                                             

                                                            Considérons un réel θ tel que :

                                                                cos θ = 1 / 2

                                                                sin θ = √3 / 2

                                                   Alors    θ = π / 3  convient.

                                                 Ainsi:     z'  = 2 ( cos(  π / 3 ) + sin(  π / 3 )

                      •   On en déduit :

                                      z × z ' =   2 √2  ( cos ( π / 4  + π / 3 ) + i sin  ( π / 4  + π / 3 ) )

                   c-à-d          z × z ' =   2 √2  ( cos ( 7π / 12 ) + i sin  ( 7π / 12 ) )

    Conclusion:   la forme trigo est   z × z ' = 2 √2  ( cos ( 7π / 12 ) + i sin  ( 7π / 12 ) ) 

                               3.    On a :

                             2 √2  ( cos ( 7π / 12 ) + i sin  ( 7π / 12 ) ) =  1 - √3  +   i ( 1 + √3 )

  c-à-d      2 √2   cos ( 7π / 12 ) +   i    2 √2  sin  ( 7π / 12 )  = 1 -  √3  +   i ( 1 + √3 )

              L'égalité des parties réelles et l'égalité des parties imaginaires  donnent:

                                                    2 √2   cos ( 7π / 12 )  = 1 -  √3 

                                                      2 √2  sin  ( 7π / 12 ) ) =  1 + √3 

                 c-à-d      cos ( 7π / 12 )  = ( 1 -  √3  ) / (   2 √2  )

                              sin  ( 7π / 12 ) ) = ( 1 + √3 ) /  (   2 √2  )

                   Conclusion:   cos ( 7π / 12 )  =  (  √2  -  √6   ) / 4 

                                           sin  ( 7π / 12 ) )  =   (  √2  +  √6   ) / 4 

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               EXERCICE 2              11 POINTS 

                    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

                    Soit les points  A , B ,  C d'affixes respectivement

                     z_A = - 1            z_B = 1 - 3 i                   z_C = 2 + 2 i

                     1. Placer les points A , B , C .

                     2. Déterminer une mesure θ de l'angle orienté ( vect( AB  ) , vect( AC  ) ).

                     3. Donner la traduction complexe de la rotation r de centre A et d'angle θ.

                     4. Quelle est l'image du point B par r ?

                     5. Soit le point E symétrique de B par rapport à A.

                        Donner l'affixe de E. 

                     6. Trouver et représenter l'ensemble des points M d'affixe z du plan tels

                            (  z - z_E  ) /  (   z - z_B  )  soit un imaginaire pur ( au sens large ).

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            Réponse:

                      1. Figure: 

                          2.  On a :    ( vect( AB  ) , vect( AC  ) ) = arg(  (  z_C - z_A  ) /  (   z_B - z_A  )  )     (  2 π )

                                  Or :

                                     z_B - z_A  = 1 - 3 i - ( - 1 ) = 2 - 3 i

                                 et     z_C - z_A  = 2 + 2 i - ( - 1 ) = 3 + 2 i  - 3 i² + 2 i = i ( - 3 i + 2 )

                              Ainsi :    z_C - z_A  ) /  (   z_B - z_A  ) = i ( - 3 i + 2 ) / ( 2 - 3 i )  = i = e^{iπ/ 2}

                              On a :   ( vect( AB  ) , vect( AC  ) ) =  π/ 2    (   2 π )

                              Conclusion:   ( vect( AB  ) , vect( AC  ) ) =  π/ 2    (   2 π )

                   3.   Traduction complexe de r.

                         On a :

                  z ' -   z_A  =  e^{iπ/ 2}   ( z -   z_A  )                 avec  le point M ( z ) d'image le point M'( z ' ).

                    c-à-d      z '   = i ( z -   z_A  )    +  z_A           avec  le point M ( z ) d'image le point M'( z ' ).

          c-à-d              z '  = i ( z + 1 ) - 1                    avec  le point M ( z ) d'image le point M'( z ' ).

              Conclusion :   z ' = i z + i - 1             avec  le point M ( z ) d'image le point M'( z ' ).           

                   4.   Pour avoir l'affixe de l'image du point B par r.

                        Considérons   z ' = i z_B +i - 1

                       c-à-d      z ' = i ( 1 - 3 i ) + i - 1

                       c-à-d   z ' = i + 3 + i - 1 =  2 i + 2 = z_C

                         Conclusion :  L'image de B par r est le point C 

                     5. Recherche de E.

                            On a comme A est le milieu du segment [ E B ]  

                                                ( z_E + z_B ) / 2 = z_A

                               Donc            z_E    = 2 z_A  -  z_B

                                c-à-d             z_E      =   2( - 1 ) - ( 1 - 3 i ) = - 2 - 1 + 3 i

                                 c-à-d             z_E      =  - 3 + 3 i

                               Conclusion:   On a  E( - 3 + 3 i ) 

                         6.     (  z - z_E  ) /  (   z - z_B  )  soit un imaginaire pur ( au sens large )

                               se traduit par :

                                • Cas:  z - z_E = 0    et   z - z_B ≠ 0

                                  c-à-d     z = z_E    c-à-d     M = E

                               •Cas:     z - z_E  ≠ 0    et   z - z_B ≠0    et arg( (  z - z_E  ) /  (   z - z_B  )  ) = π/ 2    ( π  )

                                c-à-d

                                    M ≠ E   et M ≠ B  et ( vect( MB ) , vect( ME ) = π/ 2    ( π  )

                                 c-à-d   M est sur le cercle de diamètre [ BE ] privé de B et E

                 Conclusion:   On a l'ensemble cherché qui est le cercle de diamètre [BE] privé de B

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                 EXERCICE 3              3 POINTS       

                                         Soit a et b deux nombres réels.

                       On sait que :       cos( a + b ) = cos( a ) × cos(  b  ) -  sin(  a ) × sin ( b )

                                                 cos ( a - b ) = cos( a ) × cos(  b  ) + sin(  a ) ×  sin ( b )

                      a. En déduire que:       cos( a ) × cos ( b ) = ( 1 / 2 ) × [  cos( a + b )  + cos ( a - b ) ]

                                                          sin( a ) × sin ( b ) = ( 1 / 2 ) × [  cos( a - b )  -  cos ( a + b ) ]

                      b. Soit x un nombre réel:

                           Exprimer  le produit  cos ( x ) × cos ( 3 x )  comme une somme.

                      c. On pose:       a + b = α        et     a - b = β

                            Etablir que :   cos  ( α )  +  cos ( β ) =  2 cos(  (α  +  β ) / 2  )   ×  cos (  (α  -  β ) / 2  )

                       d.  Soit x un nombre réel:

                           Exprimer  la somme   cos ( x ) +  cos ( 3 x )  comme un   produit.

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               Réponse:

             a.   •Par somme membre à membre des deux formules on a :

                          cos( a + b )  +   cos ( a - b )  = 2 cos( a ) × cos(  b  )

                    d'où en divisant par 2 l'égalité demandée.

                   Conclusion:     cos( a ) × cos ( b ) = ( 1 / 2 ) × [  cos( a + b )  + cos ( a - b ) ]

                     •Par différence membre à membre des deux formules on a :

                        - cos( a + b )  +   cos ( a - b )  = 2 sin( a ) × sin(  b  )

                        d'où en divisant par 2 l'égalité demandée.

                        Conclusion:     sin( a ) × sin ( b ) = ( 1 / 2 ) × [  cos( a - b )  - cos ( a + b ) ]

                   b.  Application:    Soit x un réel.

                                  En posant    a = 3 x et  b = x

                                 cos( 3 x )  × cos( x )   = ( 1 / 2 )  [ cos(  3 x + x ) + cos ( 3 x - x ) ]

                             c-à-d       

                          Conclusion :      cos( 3 x )  × cos( x )   =  ( 1 / 2 )  [ cos 4 x ) + cos( 2 x ) ] 

                    c.     On a :     cos( a ) × cos ( b ) = ( 1 / 2 ) × [  cos( a + b )  + cos ( a - b ) ]

                         Posons :    a + b = α        et     a - b = β

                            Donc :

                          Par somme :          ( a + b ) + ( a - b ) =  α +  β    

                                                     c-à-d       2 a =  α +  β    

                                                      c-à-d              a =  (  α +  β  ) / 2   

                        Par différence:     ( a + b ) - ( a - b ) =  α - β                         

                                                 c-à-d        2 b =  α - β    

                                                 c-à-d          b = (  α - β   ) / 2

                       En reportant il vient :

                      cos( (α  +  β ) / 2  )   ×  cos (  (α  -  β ) / 2  )      = ( 1 / 2 ) [ cos  ( α )  +  cos ( β ) ]

                      c-à-d         cos  ( α )  +  cos ( β ) =  2 cos(  (α  +  β ) / 2  )   ×  cos (  (α  -  β ) / 2  )

                             Conclusion :     cos  ( α )  +  cos ( β ) =  2 cos(  (α  +  β ) / 2  )   ×  cos (  (α  -  β ) / 2  )  

                    d. Application:     Soit x un réel.

                         On a en posant     β  = x    et    α = 3 x

                                         cos ( 3 x ) +  cos (  x ) =  2 cos(  ( 3 x  +  x ) / 2  )   ×  cos (  ( 3x  - x ) / 2  )

                              c-à-d       cos ( x ) +  cos ( 3 x ) =  2 cos( 2x )   ×  cos ( 2 x  / 2  )

                          Conclusion :     cos ( x ) +  cos ( 3 x ) =  2 cos( 2x )   ×  cos ( x )

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