INFO DV 2 MAISON TS2 OCT 10

                          INFO   DV n ° 2                         18 Oct. 2010              TS2

                   EXERCICE   95

                         Soit θ dans l'intervalle ] 0 ; 2π [ .

                          Soit   z = e^i θ      et    Z = ( 1 + z ) /  ( 1 - z )   pour z  ≠  1    

              1.a . Donnons les valeurs θ de pour lesquelles Z est défini.     

                      z  ≠  1   se traduit par  e^i θ    ≠  1    c-à-d      θ   ≠  0 ( 2π )

                     Comme  θ est dans l'intervalle ] 0 ; 2π [ , il n'y a pas de nouvelle condition.

                                     Conclusion:    Z est défini pour tout  θ dans l'intervalle ] 0 ; 2π [

                  b. Montrons que pour tout θ dans l'intervalle ] 0 ; 2π [  on a :

                        Z  = icos( θ / 2 )  / sin( θ / 2 )

                       On a :     Z =  ( 1 + z ) /  ( 1 - z ) 

                      c-à-d    Z = ( 1 + e^i θ   )  /  ( 1 - e^i θ   )

                      c-à-d    Z  =  (  e^{i θ / 2}   / e^{i θ / 2}   )  ( e ^{- i θ / 2}   + e^{i θ / 2}  ) /  ( e ^{- i θ / 2}   -   e^{i θ / 2}  )

                       c-à-d    Z  =  1   [ ( e ^{- i θ / 2}   + e^{i θ / 2}  ) / 2 ] /  [  - i  (   e^{i θ / 2}  - e ^{- i θ / 2}  )  / ( 2i ) ]

                       c-à-d     Z = cos( θ  / 2 )    / [ - i  sin(  θ  / 2 )  ]

                      c-à-d     Z = i cos( θ  / 2 )   /   [ - i²  sin(  θ  / 2 )  ]

                          Conclusion :      Z = i cos( θ  / 2 )   /  sin(  θ  / 2 )        avec θ dans l'intervalle ] 0 ; 2π [ 

                  c. Donnons les valeurs de θ pour lesquelles on dispose d'un argument de Z.

                      La condition nécessaire et suffisante pour que on ait un argument de Z est

                         Z  existe et est non nul.

                      c-à-d      θ  est dans l'intervalle ] 0 ; 2 π [   et   cos (  θ  / 2 )   ≠ 0    

                      c-à-d       θ/ 2  est dans l'intervalle ] 0 ; π [  et cos (  θ  / 2 )   ≠ 0    

                      c-à-d      θ/ 2  est dans l'intervalle ] 0 ; π [     et      θ / 2    ≠   π / 2  

                    c-à-d       θ   est dans l'intervalle ] 0 ; 2π [   et   θ     ≠   π    

                      Conclusion :   On dispose d'un argument de Z

                                             quand    θ  est dans   ] 0 ;  π [  U ]  π ;  2π  [ 

                  Donnons dans ces cas arg( Z ).   

                       • Soit     θ  dans ] 0 ; π  [   .

                                   Alors  θ  / 2  est dans   ] 0 ; π/ 2  [ .

                             Donc    cos (  θ  / 2 ) > 0   et  sin (  θ  / 2 ) > 0   

                             On a :    cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 ) > 0   

                            Ainsi     i  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 )  est de la forme ib avec b > 0

                             Donc    arg( i  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 ) ) = π / 2    ( 2  π )

                             D'où                                      Conclusion :      arg( Z ) = π / 2      convient 

                        • Soit     θ  dans ] π, 2 π [ .

                                     Alors     θ  / 2  est dans   ] π/ 2 , π [ 

                          Donc      cos (  θ  / 2 ) < 0   et    sin (  θ  / 2 ) > 0   

                           On a :    cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 ) < 0   

                            Ainsi     i  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 )  est de la forme  i b  avec b  < 0

                          Donc    arg( i  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 ) ) = 3 π / 2    ( 2  π )

                          D'où                                             Conclusion :        arg ( Z )  = 3 π / 2    convient

                  2. a . Donnons | Z | en fonction de  θ   .

                            Déjà       | Z |  = |   i  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 )  |    pour tout  θ  dans ] 0 ;  2  π [

                              c-à-d     | Z |  = |  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 )  |    pour tout  θ  dans ] 0 ;  2  π [

                            Discutons pour avoir une expression simple sans valeur absolue.

                              • Soit     θ = π                     Alors   Z = 0     Donc                 Conclusion :   | Z | = 0

                              • Soit     θ  dans ] 0 ; π  [      Alors  on a vu que cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 ) > 0   

                                          Donc                           Conclusion :         | Z |  =  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 ) 

                              • Soit     θ  dans ] π, 2 π [       Alors on a vu  que     cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 ) < 0   

                                     Donc               Conclusion  :     | Z |  = -  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 )    

                  b. ( Question non donnée dan ce DV n° 2  )   

                                          On pose   I =  ∫_{π / 2}  ^π    | Z | d θ  .

                          Justifions  l'existence de cette intégrale et calculons la.    

                         •Existence de I.

                          Sur ] 0 : π  ]  la fonction   θ  →   | Z |    

                          est la fonction  f : θ  →   cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 )                  

                          f est une fonction définie  sur ] 0 : π  ] et continue sur ] 0 : π  ]  comme quotient de

                           telle fonctions. 

                           f est donc définie et continue sur l'intervalle d'intégration [ π  / 2 ; π ].

                              Conclusion  :  I existe.

                           •Calcul de I .

                             Cherchons une primitive F de f  sur l'intervalle  [ π  / 2 ; π ].

                               Soit θ  dans  [ π / 2 ; π ].

                                f( θ  ) =  cos (  θ  / 2 ) /  sin (  θ  / 2 )   

                             c-à-d

                                f( θ  ) =     sin' (  θ  / 2 )     /  sin (  θ  / 2 )   

                            c-à-d

                               f( θ  ) =  2  [   ( 1 / 2 )  sin' (  θ  / 2 )     /  sin (  θ  / 2 )     ]

                             On a :  sin(  θ  / 2 )  > 0

                          On peut donc considérer

                                 F( θ  ) = 2 ln ( sin (  θ  / 2 )  )

                            Ainsi   I  =  F(  π   ) -  F(  π / 2 )

                             c-à-d    I = 2 ln ( sin (  π  / 2 )  )  - 2 ln(  sin (   π  / 4  ) 

                              c-à-d     I = 2 ln 1   - 2 ln ( √ 2 / 2 ) = 0 -  2  ln ( √ 2 / 2 ) = - ln ( √ 2 / 2)²

                             c-à-d    I = - ln( 1 / 2 )

                               Conclusion : I = ln 2

                                    I ≈ 0,69

                   Intérprétation de I:

                     I est en unité d'aire l'aire du domaine en vert sous la courbe de f.

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        EXERCICE  78

             Les points A , B , M , M ' sont définis par  leurs affixes:

                   A( - 3 ) , B ( 1 + i ) , M( z ) et M ' ( z ' ) .

              Figure : 

              On sait que:             z ' = ( z + 3 ) / ( z - 1 - i )    avec  z  ≠ 1 + i                      

            Déterminer l'ensemble des points M tels que :

           a. OM ' = 1 .

           b. M ' est sur l'axe des réels.

           c. M ' est sur l'axe des imaginaires pus.

           d . z ' est un réel négatif.

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  Réponse:     On a :    z' = ( z - z_A ) / ( z - z_B )     avec  z  ≠ z_B

                a.   OM ' = 1   se traduit par   | z ' | = 1  

                      c-à-d                   | ( z - z_A ) / ( z - z_B ) | = 1

                      c-à-d                   | z - z_A | /  | z - z_B  | = 1  

                      c-à-d                     AM / BM = 1

                      c-à-d                     AM = BM     et   M  ≠ B

                      c-à-d         AM = BM      comme A  ≠ B  

                            Conclusion : L'ensemble cherché est la médiatrice de [AB]

                 b.    M ' est sur l'axe des réels

                       se traduit  par   z '  est dans IR.

                         Il existe  λ dans IR tel que   ( z - z_A ) / ( z - z_B )  = λ

                         c-à-d       Il existe  λ dans IR tel que 

                                       ( z - z_A )  =   λ ( z - z_B)  avec   z - z_B    ≠ 0

                           c-à-d

                                   les vecteurs  vect(AM ) et vect(  BM )  sont colinéaires et  le

                                  vect(  BM ) n'est pas le vecteur nul.

                         c-à-d    

                                  le point M décrit la droite ( AB ) privée du B

               Conclusion : L'ensemble cherché est  la droite ( AB ) privée du B

                    c.  M ' est sur l'axe des imaginaires purs se traduit par

                           Il existe  λ dans IR tel que   ( z - z_A ) / ( z - z_B )  = λ i

                       c-à-d   

            si  λ = 0   alors   z = z_A

            si  λ  ≠ 0  alors   z - z_A   ≠  0   et   z - z_B   ≠  0  et  arg( ( z - z_A ) / ( z - z_B ) ) = π / 2  ( π )

                 c-à-d       

                                   M = A

                                  ou 

                                  M   ≠  A   et  M   ≠ B   et   ( vect( AM )  , vect( B M ) ) =  π / 2  ( π )

              c-à-d                            

                                    M =A

                                    ou 

                                     M est sur le cercle de diamètre [A B] privé de A et B

                   Conclusion : L'ensemble cherché est le cercle de diamètre [AB] privé du point B.    

                d.   z ' est un réel négatif

                           se traduit par  il existe  λ < 0  tel que   ( z - z_A ) / ( z - z_B )  = λ

                      c-à-d    

                             il existe  λ < 0  tel que   ( z - z_A )  = λ ( z - z_B )     et   z - z_B  ≠  0

                       c-à-d   

                            il existe  λ < 0  tel que    vect( AM ) =  λ vect( BM )   et    M  ≠ B

                       c-à-d 

              les vecteur  vect (AM ) et vect( BM )  sont colinéaires et de sens contraire et  M  ≠ B   

           Conclusion : L'ensemble cherché est   segment [ AB ] privé de B.