INFO SECOND TRAVAIL

INFO SECOND TRAVAIL

                                             INFO SECOND TRAVAIL A REALISER                TS                    Juin 2009 

          EXERCICE.

           Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O; vect( u ) , vect( v ) ).

          1. Placer, dans le plan, les points A(  - 1 + i ) , B( 2 + 3 i ) et C( 4 + i ).     

           Réponse:

                      Figure :    

                                  

          2. Trouver les affixes des vecteurs:

              vect( AB ) ; vect ( AC ) ; vect( BC ).

          Réponse:  

                    zB -  zA    = 2 + 3 i -  ( - 1 +  i ) =  2 + 3 i + 1 - i  =    3 + 2 i

                    zC -  zA      = 4 + i - ( - 1 + i ) = 4 + i + 1 - i =   5

                     zC -  zB     = 4 + i - (  2 + 3 i ) = 4 + i - 2 - 3 i = 2 - 2 i

          3. Trouver la distance AB.

                    Réponse:

                    AB   = | zB - zA | = | 3 + 2 i | = √( 3² + 2² ) = √13

          4. Soit B' le point symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses.

               Donner son  affixe.

                    Réponse:

                     L'affixe de B ' est le conjugué de l'affixe de B.

                      Donc     zB '  = 2 - 3 i  

          5. Soit les nombres complexes  z = 3 + 2 i  ,  z' = 2  - 2i    et    z" = 5 - 3 i.

             a. Déterminer z z'   ,   z + z".

                 Réponse:

                  z z '    = ( 3 + 2 i  ) ( 2  - 2 i   ) =  3 × 2 + 2 × 2 + i (  2 × 2 -  2 × 3 ) = 10 - 2 i 

                 z + z"    =  3 + 2 i + ( 5  - 3 i ) = 8 - i

          

            Conclusion:        z z '  = 10 - 2 i      et    z + z"    = 8 - i  

                  ( On mettra le résultat sous la forme a + i b , appelée  " forme algébrique" )

             b.  Déterminer |z " |.

                 Réponse:

                      |z " |  = | 5 - 3 i | =√ ( 5² + ( - 3 )² ) = √ ( 25 + 9 ) = √ 34

                Conclusion:       |z " |  = √ 34  

              c. Donner    .

                  Réponse: 

                           Conclusion :      =  3 -  2 i    

             d. Déterminer 1 / z .

                   Réponse :  

                   On a :                  1 / z  =  1 /  ( 3 + 2 i )   = ( 3 - 2 i ) / [ 3 + 2 i ) ( 3 - 2 i )]

                         c-à-d               1 / z  =    ( 3 - 2 i ) / ( 3² + 2 ² )    = ( 3 - 2 i ) / 13      

                         Conclusion :           1 / z  =  ( 3 - 2 i ) / 13       

                 Comparer le résultat avec   /  | z |².

                      Réponse:  

                        Comme       =    3 - 2 i

                              et    | z |²  = 13

                   il vient :                  1 / z =   /  | z |²     

                   Conclusion:     1 / z  =    /  | z |².

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