DS n° 1 Samedi 01 octobre 2011 TS2
EXERCICE 1 3,75 points
Soit les deux nombres complexes:
z = 1 + i
z ' = 2 j avec j = - 1 / 2 + i √ 3 / 2
Donner des formes exponentielles des nombres complexes suivants:
z , z ' , z x z ' , z / z' , 5 .
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Réponse :
• Pour z.
On a : | z | = | 1 + i | = √( 1 2 + 1 2 ) = √2
Donc z = √2 1 + i = √2 ( 1 / √2 + i 1 / √2 )
Ainsi : z = √2 ( √2 / 2 + i √2 / 2 )
Soit θ un réel tel que cos θ = √2 / 2
sin θ = √2 / 2
θ = π/4 convient .
Donc : z = 1 + i = √2 eiπ/4
•Pour z'.
On a : | j | = √ ( ( - 1 / 2 )2 + ( √3 / 2 )2 ) = √ ( 1 / 4 + 3 / 4 ) = √ 1 = 1
Ainsi :| z' | = 2 | j | = 2 ×1 = 2
z' = 2 j = 2( - 1/ 2 + i √3 / 2 )
Soit θ un réel tel que cos θ = - 1 / 2
sin θ = √3 / 2
θ = 2π/3 convient.
Ainsi : z' = 2 e2πi / 3
• z × z ' = 2 √2 ei(π/4+ 2π / 3 ) = 2 √2 ei(11π/12)
• Pour z / z' .
De même z / z' = √2 / 2 ei( π/4 - 2π / 3 ) = √2 / 2 e - 5π i / 12 )
Conclusion : z = √2 eiπ/4
z' = 2 e2πi / 3
z ×z ' = 2 √2 ei(11π/12)
z / z' = √2 / 2 e- 5π i / 12 )
5 = 5 ei0
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EXERCICE 2 16,25 points
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect(u ) , vect( v ) ).
Soit le polynôme Q( z ) = z3 + 2 z2 + 7 z + 30 où z est dans l'ensemble
des nombres complexes.
1. Peut-on trouver trois réels a , b , c tels que :
Q( z ) = ( z + 3 ) ( a z2 + b z + c ) pour tout nombre complexes z ?
Réponse : OUI .
On a : Q( - 3 ) = 0
Donc Q( z) est factorisable par z + 3 .
Dans l'affirmative trouver ces trois réels.
Réponse : a = 1 b = - 2 et c = 10
2. Soit les nombres complexes Z1 = 1 + 3 i et Z2 = 1 - 3 i
a. Trouver la somme S = Z1 + Z 2 et le produit P = Z1 x Z2 .
Réponse : S =2 et P =10
b. Résoudre l'équation z2 - S z+ P = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
Réponse : SC = { 1 + 3 i ; 1 - 3 i }
3. Résoudre l'équation Q( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
Réponse : SC = { - 3 ; 1 + 3 i ; 1 - 3 i }
4. Trouver les modules de Z1 et Z2.
Réponse : | Z1 | = √10 = | Z2 |
5. On considère les points A , B , C d'affixes respectivement
Z1 , Z2 , - 3 .
a. Placer les points A , B , C dans les repère orthonormal ( O ; vect(u ) , vect( v ) ).
b. Quelle particularité géométrique possède le triangle ABC ?
Réponse : AB = 6 AC = AB = 5 Il est isocèle en C.
( Justifier la réponse )
Prolongement si vous avez le temps: Bonus 3 points
6. Soit le point D d'affixe le réel negatif zD = 1 + 3 √3 .
a.Mettre sous la forme exponentielle le quotient :
( zD - zA ) / ( zB - zA )
Réponse : ( zD - zA ) / ( zB - zA ) = eiπ / 3
b.Quelle est la nature du triangle ABD ?
( vect(AB) , vect( AD) ) = π / 3 ( 2π )
De plus AD / AB = 1 car | ( zD - zA ) / ( zB - zA ) | = | eiπ / 3 | = 1
( Justifier la réponse ).
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