LISTE EX NOMBRES COMPLEXES

-                     TS    LISTE D'EX SUR LES NOMBRES COMPLEXES        pour le  13 sept. 2010  

          •  n° 1 

             1. Donner le partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué de chacun des

                 nombres complexes z suivants:

                • z = - 3

                • z = 2 + i

                • z = - 1 - i

                • z = 5 i

                 • z = 3 i²  -  i

               2. Représenter les points images de ces cinq nombres complexes.

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          Réponse:

            1. On a :      

    • z = - 3             Donc  z = - 3 + 0 i          Re( z ) = - 3      Im( z ) = 0       = - 3 -  0 i           = z

    • z = 2 + i           Donc                             Re( z ) =  2    Im( z ) = 1       =   2 -  i 

     • z = - 1 - i          Donc                            Re( z ) = - 1     Im( z ) =  - 1        = - 1 + i       

     • z = 5 i           s'écrit   z = 0 + 5 i     Donc       Re( z ) = 0     Im( z ) = 5       = 0 -  5 i           = - 5 i

     • z = 3 i²  -  i       Donc  z = - 3 -  i               Re( z ) = - 3     Im( z ) = - 1      = - 3 +  i           = - 3 + i     

         2. Représentation des points images des cinq nombres complexes.         

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      •  n° 2 

          1. Déterminer l'ensemble des réels x et y tels que :   2 x - y + i ( x + y ) = 1 - 3 i

          2 . Quel est l'ensemble des points M ( x + i y ) tels que  2 x - y + i ( x + y ) = 1 - 3 i.

          3. Représenter cet ensemble.

          Réponse:

             1. Le principe est "Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont égaux         

                                            parties réelles et les mêmes parties imaginaires".

                C'est la traduction complexe du principe que deux points sont confondus ssi

               Ainsi  ils ont les mêmes coordonnées. 

              Ainsi   2 x - y + i ( x + y ) = 1 - 3 i    se traduit par :

                   2 x - y = 1              L₁

                  x + y = - 3                L₂

               Résolvons ce système:

                      L₂  ←    L₁  -    L₂

                On obtient le système équivalent suivant:

                                  y = 2 x - 1

                                 3 x  = - 2

                        c-à-d

                                  y = 2 ( - 2 / 3 ) - 1 = - 7 / 3

                                x = - 2 / 3

              Conclusion :     x = - 2 / 3   et     y = - 7 / 3 

        2. L'ensemble cherché ne contient que le point M d'affixe z = ( - 2 / 3 ) + i ( - 7 / 3 )

       3. Représentation.

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    •   n° 3  

            Mettre sous la forme algébrique les nombres complexes

            suivants:

                1.    z = 4 - ( 1 - i )

                2.         z  = 3 ( 5 - i ) + i ( 3 + 2 i )

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              Réponse:

                 1.  Soit :      z = 4 - ( 1 - i ) 

                      Il vient :      z = 4 - 1 + i  

                       c-à-d    

              Conclusion :     z = 3 + i     

                2 .   Soit :      z =  3 ( 5 - i ) + i ( 3 + 2 i )

                         Il vient :     

                       z = 15 - 3 i + 3i + 2  i²

                       c-à-d  

                         z = 15  - 2

                      c-à-d

            Conclusion:         z = 13

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             •  n ° 4 .

                  Même question que dans l'exercice précédent pour le nombre complexe z :

         1.       z =   ( 2 + 3 i ) ²

         2.      z = ( 4 - i) ²

         3.      z = ( 5 - 3 i ) ( 5 + 3 i )

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             Réponse :

            1. Soit        z = ( 2 + 3 i ) ²

                  c-à- d 

                               z = 2² + 3² i²  + 2 × 2 × 3 i

                  c-à-d

                                  z = 4 - 9 + 12 i

                  c-à-d

                   Conclusion:      z = - 5 + 12 i

            2.  Soit     z = ( 4 - i ) ²

                  c-à-d

                            z = 16 - 8 i + i²

                      c-à-d  

                                 z = 16 - 1 - 8 i

                      c-à-d

                        Conclusion :          z = 15 - 8 i 

           3.     Soit      z = ( 5 - 3 i ) ( 5 + 3 i )

                   c-à-d

                       z = 5² - ( 3 i ) ²    ( Egalité remarquable )

                  c-à-d

                          z = 25 - 9 i²

                 c-à-d

                          z = 25 + 9 = 34

            Ainsi :

                    Conclusion:      z = 34

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               n° 5               

                Même question que dans l'exercice précédent avec

                 1.        z = i⁵ - 3 i³ ( 1 + i )

                  2.        z =  ( 1 - i )³

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            Réponse:   RAPPEL :   ( a + b )³   =  a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³  

                                                ( a + b )³   =  a³ - 3 a² b + 3 a b² - b³  

                  1. Soit   z = i⁵ - 3 i³ ( 1 + i )

                       c-à-d

                         z = ( -  1 )² i - 3 i ( - 1 ) ( 1 + i )

                         c-à-d 

                      z = i +3 i  ( 1 + i )

                           c-à-d

                               z = i + 3 i + 3 i²

                           c-à-d

                       Conclusion:          z = - 3 + 4 i 

                2. Soit     z = ( 1 - i )³

                            c-à-d

                            z = 1³ - 3 ×1²  × i  +   3 ×1 × i² - i³

                               c-à-d

                             z = 1 - 3 i - 3+ i

                                 c-à-d

                             Conclusion :   z = - 2 - 2 i

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