EXERCICES DE NUMERATION SEPT 2011 BTS1
EXERCICE 1.
Soit l'entier N = an an - 1 ........a1 a0 écrit dans le système binaire .
On a :
N = an 2n + an - 1 2n - 1 + .......+ a1 21 + a0 20
les cœfficients étant des 0 ou 1.
1. Que peut-on dire de l'écriture de 2 x N ?
2. Quand N est pair c-à-d a0 = 0 que peut-on dire de l'écriture de N / 2 ?
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Réponse:
1. On a :
2xN = ( an an - 1 ........a1 a0 0 )2
On rajoute à droite de l'écriture de N un zéro.
En effet :
N = an 2n + an - 1 2n - 1 + .......+ a1 21 + a0 20
2 x N = an 2n + 1 + an - 1 2n + .......+ a1 22 + a0 21
c-à-d 2 x N = an 2n + 1 + an - 1 2n + .......+ a1 22 + a0 21 + 0 x 20
Donc 2x N = ( an an - 1 ........a1 a0 0 )2
Par exemple:
N = ( 11111 )2
Alors 2x N = ( 111110 )2
2. Soit N pair c-à-d a0 = 0.
N / 2 = ( an an - 1 ........a1 )2
Si N = 0 alors N / 2 =( 0 )2
Si N ≠ 0 alors on retire le terme a0 qui est nul de l'écriture binaire de N.
En effet:
•Soit N non nul et pair on a : N = ( an an - 1 ........a1 0 ) et a1 ≠ 0
On a : N = an 2n + an - 1 2n - 1 + .......+ a1 21
Ainsi : N / 2 = an 2n - 1 + an - 1 2n - 2 + .......+ a1 20
L'écriture de n / 2 est ( an an - 1 ........a1 )2
•Soit N nul.
On a : N = ( 0 )2
Ainsi N / 2 = N
L'écriture de N est aussi celle de N / 2 .
Par exemple:
Soit N = 10110 en binaire
Alors N / 2 = 1011 en binaire
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EXERCICE 2.
Soit les entiers n = 11010111 et n' = 100101 en binaire.
Trouver n + n'
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1 + 1 + 1 = 10+ 1 = 11
| retenues | 1 | 1 | 1 | |||||
| n | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| n ' | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| n + n' | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Conclusion n + n ' = 11111100 en binaire
Vérification en système décimal.
( 11010111 )2 = 215 en décimal
( 100101 )2 = 37 en décimal
( 11010111 )2 + ( 100101 )2 = 215 + 37 = 252
Or 252 = ( 11111100)2
Donc ( 11010111 )2 + ( 100101 )2 = ( 11111100)2
Le résultat est donc confirmé.
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EXERCICE 3
Calculer 11 + 1 en binaire
1
11
+ 1
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100
Conclusion: 11 + 1 = 100
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