INFO 2 FEUILLE D'EXERCICES DE NUMERATION SEPT 2011 BTS
EXERCICE 4
1. Comment reconnait-on dans l'écriture binaire d'un entier qu'il est pair ou impair?
2. Comment reconnait-on dans l'écriture binaire d'un entier qu'il est divisible par 4 ou non ?
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Réponse:
1. En binaire un entier pair se termine( à droite) par 0.
En binaire un entier impair se termine ( à droite ) par 1.
En effet:
• Quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances de 2
si la plus petite puissance de 2 est 21 on peut le factoriser par 2.
Il est donc pair.
• Par contre quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances
de 2 si la plus petite puissance de 2 est 20 on ne peut pas le factoriser par 2.
Il est donc impair.
2. En binaire un entier divisible par 4 se termine à droite par 00.
En effet :
Quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances de 2
si la plus petite puissance de 2 est 22 on peut le factoriser par 22.
Il est alors divisible par 4.
Sinon il n'est pas divisible par 4
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EXERCICE 5
1. Donner la forme binaire et la forme décimale du plus grand entier
que l'on puisse écrire avec 4 bits.
2. Donner l'écriture en base 10 d'un nombre qui s'écrit en base 2 avec un 1 suivi de
k - 1 zéros où k est un entier naturel non nul.
3. Donner l'écriture en base 10 d'un nombre qui s'écrit en base 2 avec k bits tous
égaux à 1 , k est un entier naturel non nul.
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Réponse :
1. Le plus grand nombre de 4 bits en binaire est ( 1111 ) 2
1 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20
est le plus grand entier que l'on puisse écrire comme polynôme de
puissance de 2 avec des exposants de 0 à 3 .
( 1111 )2 = 1 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20 = 15
Cela correspond à l'entier 15 en système décimal.
2. Un nombre qui s'écrit en base 2 avec un 1 suivi de
k - 1 zéros où k est un entier naturel non nul est 2k - 1 .
En effet :
1 x 2k - 1 + 0+....+ 0 x 20 = 1 0000000...00 avec k - 1 zéros
3. Un nombre qui s'écrit en base 2 avec k bits tous
égaux à 1 , k est un entier naturel non nul
est égal à 1 x 2k - 1 + + 1 x 20 = 2k - 1
On reconnait la somme des k premiers termes d'une suite
géométrique de raison 2 et de premier terme 1.
1 x 2 + ...... + 1 x 2k - 1 = 1 x ( 1 - 2k ) / ( 1 - 2 ) = 2k - 1
Par exemple: ( 1111 )2 s'écrit avec 4 bits 1.
On a vu plus haut que c'était 15 en décimal.
En considérant k = 4 dans la formule précédente on retrouve
ce résultat.
( 1111 )2 = 24 - 1 = 15
On retrouve le résultat de la question n°1 de cet exercice.
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