INFO FEUILLE D'EXERCICES DE NUMERATION SEPT 2011 BTS
EXERCICE 1
Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale
suivants par la méthode des divisions successives:
• 133
• 110
• 111
•397
• 2895
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Réponse :
• 133 = ( 10000101 )2
On divise 133 par 2 puis les quotients successivement par jusqu'au
premier quotient nul.
On considère alors les restes à partir du dernier
en remontant et en les écrivant de gauche à droite.
| 133 | | 2 | ||||||||
| 1 | | 66 | |2 | |||||||
| 0 | | 33 | | 2 | |||||||
| 1 | | 16 | |2 | |||||||
| 0 | | 8 | |2 | |||||||
| 0 | | 4 | |2 | |||||||
| 0 | | 2 | |2 | |||||||
| 0 | | 1 | |2 | |||||||
| 1 | | 0 | ||||||||
Pour vérifier : On peut revenir au système décimal.
133 comporte 8 symboles 0 ou 1 en base 2.
8 - 1 = 7
1 × 27 + 0× 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0× 21 + 1 × 20 = 133
• ( 110 )10 = (1101110 )2
En effet:
| 110 | | 2 | ||||||||
| 0 | | 55 | | 2 | |||||||
| 1 | | 27 | |2 | |||||||
| 1 | | 13 | | 2 | |||||||
| 1 | | 6 | | 2 | |||||||
| 0 | | 3 | | 2 | |||||||
| 1 | | 1 | | 2 | |||||||
| 1 | | 0 | premier quotient nul | |||||||
( 110 )10 = ( 1 1 0 1 1 1 0 )2
• (111 )10 = ( 1101111 )2
En effet :
(111 )10 = (110 )10 + ( 1 )10
( 111 )2 = ( 1101110 )2 + ( 1 )2 = ( 1101111 )2
On peut aussi refaire les divisions
• ( 397)10 =(110001101 )2
En effet:
| 397 | | 2 | ||||||||||
| 1 | | 198 | | 2 | |||||||||
| 0 | | 99 | | 2 | |||||||||
| 1 | | 49 | | 2 | |||||||||
| 1 | | 24 | | 2 | |||||||||
| 0 | | 12 | | 2 | |||||||||
| 0 | | 6 | | 2 | |||||||||
| 0 | | 3 | | 2 | |||||||||
| 1 | | 1 | | 2 | |||||||||
| 1 | | 0 | ||||||||||
• ( 2895)10 = ( 101101001111 )2
| 2895 | | 2 | |||||||||||||||
| 1 | | 1447 | | 2 | ||||||||||||||
| 1 | | 723 | | 2 | ||||||||||||||
| 1 | | 361 | | 2 | ||||||||||||||
| 1 | | 180 | | 2 | ||||||||||||||
| 0 | | 90 | |2 | ||||||||||||||
| 0 | | 45 | |2 | ||||||||||||||
| 1 | | 22 | | 2 | ||||||||||||||
| 0 | | 11 | | 2 | ||||||||||||||
| 1 | | 5 | | 2 | ||||||||||||||
| 1 | | 2 | | 2 | ||||||||||||||
| 0 | | 1 | | 2 | ||||||||||||||
| 1 | | 0 | premier quotient nul | ||||||||||||||
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EXERCICE 2
Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale
suivants par la méthode des plus grandes puissances de 2:
•159
•456
• 257
•2159
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Réponse:
•159 •• On a : 128 ≤ 159 <256 c-à-d 27 ≤ 159 < 28
Donc on divise 159 par 27 .
Il vient : 159 = 1 x 27 + 31
•• On a : 16 ≤ 31 < 32 c-à-d 24 ≤ 31 < 25
Donc on divise 31 par 24 .
Il vient : 31 = 1 x 24 + 15
•• On a : 8 ≤ 15<16 c-à-d 23 ≤ 159 < 24
Donc on divise 15 par 23 .
Il vient: 15 = 1 x 23 + 7
•• On a: 4 ≤ 7 < 8 c-à-d 22 ≤ 7 < 23
Donc on divise 7 par 22 .
Il vient : 7 = 1 x 22 + 3
•• On a: 2 ≤ 3 < 4 c-à-d 21 ≤ 3 < 22
Donc on divise 3 par 21 .
Il vient : 3 = 1 x 21 + 1
•• On a: 1 ≤ 1 < 2 c-à-d 20 ≤ 1 < 21
Donc on divise 1 par 20 .
Il vient : 1 = 1 x 20 + 0 On S'ARRÊTE au premier reste nul
Ainsi : 159 = 1 x 27 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
On rajoute les puissances de 2 intermédiaires en les multipliant par 0.
D'où:
159 = 1 x 27 + 0x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 +1 x 20
On extrait dans l'ordre les 0 et 1 par lesquels les puissances de 2 sont multipliées.
Donc
Conclusion: ( 159)10 = ( 10011111 )2
• 456 De la même façon on obtient :
456 = 1 x 28 + 1 x 27 + 1 x 26 + 1x 23
Conclusion: ( 456 )10 = ( 111001000 )2
• 257 De la même façon on obtient:
257 = 256 + 1 = 1 x 28 + 1 x 20
Conclusion: ( 257 )10 = ( 100000001 )2
• 2159 De la même façon:
2159 = 1 x 211 + 1 x 26 + 1 x 25 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 +1 x 20
Conclusion : ( 2159 )10 = ( 100001101111 )2
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EXERCICE 3
Donner l'écriture décimale des nombres suivants:
• ( 11001101)2
• (01010110)2
• ( 11100110)2
• ( 1001100110011001)2
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Réponse:
• ( 11001101)2 = ( 205)10
En effet :
( 11001101)2 = 1 x 27 + 1 x 26 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 20 = 205
• (01010110)2 = ( 86 )10
En effet :
• ( 11100110)2 = ( 230 )10
En effet :
( 11100110)2 = 1 x 27 + 1 x 26 + 1 x 25 + 1 x 22 + 1 x 21 = 230
• ( 1001100110011001)2 = ( 39321 )10
En effet :
( 1001100110011001)2 = 1 x 215 + 1 x 212 + 1 x 211 + 1 x 28 + 1 x 27 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 20
EXERCICE 4
1. Comment reconnait-on dans l'écriture binaire d'un entier qu'il est pair ou impair?
2. Comment reconnait-on dans l'écriture binaire d'un entier qu'il est divisible par 4 ou non ?
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Réponse:
1. En binaire un entier pair se termine( à droite) par 0.
En binaire un entier impair se termine ( à droite ) par 1.
En effet:
• Quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances de 2
si la plus petite puissance de 2 est 21 on peut le factoriser par 2.
Il est donc pair.
• Par contre quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances
de 2 si la plus petite puissance de 2 est 20 on ne peut pas le factoriser par 2.
Il est donc impair.
2. En binaire un entier divisible par 4 se termine à droite par 00.
En effet :
Quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances de 2
si la plus petite puissance de 2 est 22 on peut le factoriser par 22.
Il est alors divisible par 4.
Sinon il n'est pas divisible par 4
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EXERCICE 5
1. Donner la forme binaire et la forme décimale du plus grand entier
que l'on puisse écrire avec 4 bits.
2. Donner l'écriture en base 10 d'un nombre qui s'écrit en base 2 avec un 1 suivi de
k - 1 zéros où k est un entier naturel non nul.
3. Donner l'écriture en base 10 d'un nombre qui s'écrit en base 2 avec k bits tous
égaux à 1 , k est un entier naturel non nul.
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Réponse: Voir INFO 2
1. Le plus grand nombre de 4 bits en binaire est ( 1111 ) 2
1 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20
est le plus grand entier que l'on puisse écrire comme polynôme de
puissance de 2 avec des exposants de 0 à 3 .
( 1111 )2 = 1 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20 =15
Cela correspond à l'entier 15 en système décimal.
2. Un nombre qui s'écrit en base 2 avec un 1 suivi de
k - 1 zéros où k est un entier naturel non nul est 2k - 1 .
En effet :
1 x 2k - 1 + 0+....+ 0 x 20 = 1 0000000...00 avec k - 1 zéros
3. Un nombre qui s'écrit en base 2 avec k bits tous
égaux à 1 , k est un entier naturel non nul
est égal à 1 x 2k - 1 + + 1 x 20 = 2k - 1
On reconnait la somme des k premiers termes d'une suite
géométrique de raison 2 et de premier terme 1.
1 x 2 + ...... + 1 x 2k - 1 = 1 x ( 1 - 2k ) / ( 1 - 2 ) = 2k - 1
Par exemple: ( 1111 )2 s'écrit avec 4 bits 1.
On a vu plus haut que c'était 15 en décimal.
En considérant k = 4 dans la formule précédente on retrouve
ce résultat.
( 1111 )2 = 24 - 1 = 15
On retrouve le résultat de la question n°1 de cet exercice.
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