INFO TEST BTS1 NUMERATION

     INFO   TEST 1             BTS1  A              SEPTEMBRE  2011     NUMERATION      

                             

                   EXERCICE 1                                 2 PTS

                                     Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale

                                     suivants par la méthode des divisions successives:

                                      • 234

                                     • 117

         Réponse:     

     •  Pour 234  

234 | 2                
    0 |117 | 2              
       1 | 58 | 2            
         0 29 | 2          
        1 | 14 | 2        
             0 | 7 | 2      
            1 | 3 |2    
              1 |1 | 2  
                1 | 0  
                   

                     Conclusion:      234 = ( 11101010 )2

       •  Pour 117

               Comme 234 = 2 × 117

             il suffit de suprimer le zéro de droite

            Ainsi:

              Conclusion :   117 =  ( 1110101 )2

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                  EXERCICE 2                                     3  PTS

                                       Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale 

                                      suivants par la méthode des plus grandes puissances de 2:

                                  •259

                                  •465

                                  • 207

             Réponse:               

                          •   259 = 1 × 28  + 3                   28  ≤  259 <  29

                                   3 =  1 × 21  + 1

                                    1 =  1 × 20  + 0

                         Donc      259 = 1 × 28  +  1 × 21  +  1 × 20

                          Conclusion :  259 = ( 100000011)2

                           •    465 =  1 × 28  + 209            28  ≤   465 <  29

                                209 =  1 × 27  + 81               27  ≤   209 <  28

                                   91 =  1 × 26  + 17               26  ≤   91 <  27  

                                    17 =  1 × 24  + 1

                                      1 =  1 × 20  + 0

                                 Donc   465 =  1 × 28  +  1 × 27  +  1 × 26 +  1 × 24  +  1 × 20

                              Conclusion:  465 = ( 111010001)2

                       redaction.png

                             Conclusion:  207= ( 11001111)2

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             EXERCICE 3                              2 PTS 

                   Donner l'écriture décimale des nombres suivants:

                   • ( 11001111)2     

                    • (11010110)2     

     Réponse:

                     •     ( 11001111)2    =   1 × 27  +   1 × 26 +   1 × 23  + 1 × 22  + 1 × 21  +1 × 20

                             Conclusion :      ( 11001111)2     = ( 207)10 

                     •    (11010110)2  =    1 × 27  +   1 × 26 +   1 × 24  + 1 × 22  + 1 × 21  

                        Conclusion:    (11010110)2    =  ( 214)10       

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             EXERCICE 4                                  3 PTS            

 

                      1.   Déterminer la base a ( a entier tel que a > 1 ) dans laquelle ( 82)a = 3 x ( 28 )a    

                      2. a. Dans un tableau écrire la suite des nombres entiers entre 250 et 260 en base 16.

                         b. Trouver l'écriture en base 16 de l'entier ( 43 - 1 ) ( 43 + 1 )  .

             Réponse:

                1.  Comme 8 est utilisé on a:     a > 8.

                       ( 82)a = 3 x ( 28 )a       s'écrit   8 a + 2 = 3 (2 a + 8 )

                        c-à-d     8 a + 2 = 6 a + 24 

                        c-à-d         2 a = 24 - 2 

                        c-à-d          2 a = 22 

                        c-à-d         a = 11

                       Conclusion :   La base est a = 11

                   2.a.  On a :       250 = 15 × 161 + 10 × 160 = F × 161 + A × 160  

                                            250 = ( FA )16    

250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260      
FA FB FC FD FE FF 100 101 102 103 104      

        Pour 251 on a :    251 = ( FA) 16 + 1 = ( FB )16

            Ainsi de suite jusqu'à  255 = ( FF) 16

           Pour        256 =  ( 100 )16           

             En effet

  1  
  F F
+   1
  -- --
1 0 0

       En effet:      F + 1 = ( 15 )10 + 1 = ( 16 )10 = ( 10 )16  

                        On met 0 et il y a une retenue de 1

                                       De nouveau on a 1 + f                                                                                             1

            b. 

                   On a :    ( 43 - 1 ) ( 43 + 1 ) = ( 43  )2 - 1 = (  42  )3 - 1 

                    Ainsi :          ( 43 - 1 ) ( 43 + 1 ) = 163 - 1  

                Mais       163 - 1 =  1 × 163 - 1 =  (1000)16 -1 

 

         
  1 0 0 0
-   1 1 1
  -- -- -- --
    F F F
         

                       Conclusion :     ( 43 - 1 ) ( 43 + 1 ) = ( FFF)16   

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