INFO TEST n° 1 NUMERATION BTS1 B Mardi 4 octobre 2011
EXERCICE 1 2 PTS
Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale suivants
par la méthode des divisions successives:
• 228
• 114
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Réponse:
• Pour 228 écrit en base 10.
On a : 228 = 2 × 114 + 0
114 = 2 × 57 + 0
57 = 2 × 28 + 1 ↑
28 = 2 × 14 + 0 ↑
14 = 2 × 7 + 0 ↑
7 = 2 × 3 + 1 ↑
3 = 2 × 1 + 1 ↑
1 = 2 × 0 + 1 Au s'arrête au premier quotient nul.
228 = ( 1 110010 0 )2
Conclusion : 228 = (11100100)2
• Pour 114 228 est le double de 114.
Donc 114 sera obtenu en supprimant à droite un zéro à l'écriture binaire de 228.
Ainsi : Conclusion : 114 = ( 1110010)2
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EXERCICE 2 3 PTS
Convertir en binaire les nombres d'écriture décimale
suivants par la méthode des plus grandes puissances de 2 :
• 261
• 463
• 197
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Réponse:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 2n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
| n | 9 | 10 | 11 |
| 2n | 512 | 1024 | 2048 |
METHODE AVEC LES PLUS GRANDES PUISSANCES DE 2.
• Pour 261 On a: 256 ≤ 261 < 512
c-à-d 28 ≤ 261 < 29
Donc 261 = 1 × 28 + 5
On a 5 = 1 × 22 + 1
On a 1 = 1 × 20 + 0 On s'arrète au
premier reste nul
Ainsi : 261 = 1 ×28 + 1 ×22 +1 × 20
c-à-d 261 = 1 ×28 +0 × 27 +0 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 1 ×22 + 0 × 21 +1 × 20
On a écrit 261 comme polynôme de puissances de 2
On convient d'écrire: 261 = ( 100000101 )2
Conclusion : 261 = ( 100000101 )2
• Pour 463 : 456 ≤ 463 < 512
c-à-d 28 ≤ 463 < 29
On a : 463 = 28 + 207
207 = 27 + 79
79 = 26+ 15
15 = 23 + 7
7 = 22 + 1
1 = 20 + 0 On s'arrête au premier reste nul.
Donc : 463 = 1 × 28+ 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
Ainsi 463 = ( 111001111 )2
Conclusion : 463 = ( 111001111 )2
• Pour 197 : On a 128 ≤ 197 < 256
c-à-d 27 ≤ 197 < 28
Ainsi : 197 = 1 × 27 + 69
Mais 64 ≤ 69 < 128 69 = 1 × 26 + 5
Mais 4 ≤ 5 < 8 5 = 1 × 22 + 1 × 20
On a : 197 = 1 × 27+ 1 × 26 + 1 × 22 + 1 × 20
Ainsi
Conclusion : 197 = ( 11000101)2
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EXERCICE 3 2 PTS
Donner l'écriture décimale des nombres suivants:
• ( 110001111 )2
• ( 110010110 )2
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Réponse:
• Pour ( 110001111 )2
On a : ( 110001111 )2 = 1 × 28 + 1 × 27 + 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 +1 × 20
Donc : ( 110001111 )2 = 399
Conclusion : ( 110001111)2 = 399
• Pour ( 110010110 )2
On a : ( 110010110 )2 = 1 × 28 + 1 × 27 + 1 × 24 + 1 × 22 + 1 × 21
Conclusion : = ( 110010110 )2 = 406
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EXERCICE 4 3 PTS
1. Déterminer la base a ( a entier tel que a > 1 ) dans laquelle
( 75 )a = 2 × ( 37 )a
2. a. Dans un tableau écrire la suite des nombres entiers entre 150 et 160
en base 16.
b. Trouver l’écriture en base 16 de l’entier ( 45 – 1 )( 45 + 1 ) .
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Réponse:
1. Déjà on sait que a > 7 car le symbole 7 est utilisé.
On a ( 75 )a = 2 × ( 37 )a
qui se traduit en système décimal par
7 × a1 + 5 × a0= 2 ( 3 × a1 + 7×a0 )
c-à-d 7 a + 5 = 6 a + 14
c-à-d 7a - 6a = 14 – 5
c-à-d a = 9 9 > 7 donc convient
Conclusion : a = 9
2. a. On a : Divisons 150 par 16
| 150 | | 16 |
| 6 | | 9 |
Ainsi: 150 = 9 × 16 + 6 × 160
150 = 9 × 161 + 6 ×160
Donc 150 = ( 9 6 )16
Puis 151 = 150 + 1
Donc 151 = ( 96 )16 + 1
c-à-d 151 = ( 97 )16
Ainsi de suite :
152 = ( 98 )16
153 = ( 99 )16
154 = 9 × 16 + 10 × 160
10 est A en base 16
Donc 154 = ( 9A )16
Puis 155 = ( 9B )16
Puis 156 = ( 9C )16
Puis 157 = ( 9D )16
Puis 158 = ( 9E )16
Puis 159 = ( 9F )16
Enfin 160 = 10 × 16 + 0
Donc 160 = A0
b. Ecriture en base 16 de ( 45 – 1 )( 45 + 1 ).
Première méthode:
On a :
( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = ( ( 45 )2 -1 )
c-à-d
( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = ( ( 42 )5 -1 )
c-à-d
( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = 165 - 1
Or 165 = ( 100000 )16
Donc 165 – 1 = ( 100000 )16 - 1
100000 En rouge les retenues
- 111111 1 ôté de 0 donc ôté de 16 , il reste 15 c-à-d F avec
----------------- une retenue de 1 etc
0FFFFF
Conclusion : ( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = FFFFF en base 16.
Autre méthode : Passer par le système décimal.
( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = 1023 × 1025 = 1048575 en système décimal
Mais 164 < 1048575 < 165
1048575 = 15 × 164 + 65535
163 < 65535 < 164
65535 = 15 × 163 + 4095
162 < 4095 < 163
4095 = 15 × 162 + 255
16 < 255 < 162
255 = 15 × 161 + 15 × 160
15 est A en système de base 16.
On a :
1048575 = 15 × 164 + 15 × 163 + 15 × 162 + 15 × 161 + 15 × 160
c-à-d
1048575 = F × 164 + F × 163 + F × 162 + F × 16 + F
Conclusion : ( 45 – 1 )( 45 + 1 ) = FFFFF en base 16.
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