RESUME de Cours de Numération BTS1 OCT 2012

                             Résumé de cours de numération BTS1  OCT 2012

   1. Système de numération.

             C'est un moyen de représenter les entiers naturels à l'aide de symboles.

             Un système de numération est de base B

             ( avec B entier naturel strictement supérieur à 1 ) 

            consiste à écrire les entiers naturels en utilisant 

              comme "vocabulaire numérique"   0 , 1 ,.... , B-1

           Soit N un entier naturel.

         •Si N = 0 alors on écrit N =(  0 )B

         • Si N ≠ 0  alors on écrit N sous la forme 

                        N = an Bn    + an - 1   Bn - 1  +....  + a0   

           Le cœfficients a0 , ...., an  de ce polynôme sont dans { 0 , 1 ,.... , B−1 }

           avec   an  ≠ 0.

              On note :  

                          ecriture-de-base-b.gif

       2.  Première Méthode .

            La division de N par B puis des quotients successifs par B jusqu'au premier quotient nul.

             

N   |B                       
a0 | q0  |B        
  a1  |  q1 |B      
    a2 | q2       
      ..... .... | B   
        an | 0  Premier  quotient nul
             
             

                  On écrit  :   N =  an Bn  +an - 1 Bn - 1   +.....   + a0   

                    Puis

                           ecriture-de-base-b.gif

     3. Seconde Méthode ( Celle des plus grandes puissances de B.)

           On encadre N par deux puissances de B successives.

                Bn ≤  N  < Bn + 1

           Ainsi   Bn  est la plus grande puissance de B inférieure ou égale à N.

            On divise N par   Bn   .

              Il vient :     N = an  Bn   + rn

              On fait la même chose pour rn  s'il n'est pas nul.

                    Bk  ≤  rn <  Bk + 1     avec k < n

                    rn  = ak  Bk   + rk

             Ainsi de suite  juqu'au premier reste nul

                         r0   = a0   B0  + 0

                  On écrit :

            ecriture-de-base-b.gif

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