ACTIVITE EN CLASSE Vendredi 16 septembre 2011
EXERCICE
Soit les entiers naturels n = 110101 et n' = 1011 en base 2.
Trouver n + n ' et n x n ' en base 2.
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Réponse:
Pour la somme:
Retenues: 1 1 1 1 1 1 + 1 = ( 2 )10 = (10 )2 1 + 0 = 1 0 + 0 = 0
1 1 0 1 0 1
+ 1 0 1 1
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1 0 0 0 0 0 0
Conclusion n + n ' = ( 1000000 )2
Vérification : ( dans le système décimal )
( 110101 )2 = 1 x 25+ 1 x 24 + 1 x 22 + 1 x 20
Donc
( 110101 )2 = 32 +16 + 4 +1 =( 53 )10
De plus :
( 1011 )2 = 1x 23 + 1 x 21 + 1 x 20 = 8 + 2 + 1 = 11
c-à-d
( 1011 )2 = ( 11 )10
Donc n + n ' = 53 + 11 = ( 64 )10
Or ( 1000000 )2 = 1 x 26 = 64
Le résultat de la somme est donc exact.
2. Pour le produit n x n ' .
On sait déjà que n x n ' = 53 x 11 = 583
Or 583 = 1 x 29 + 71
71 = 1x 26 + + 7
7 = 1 x 22 + 3
3 = 1 x 21 + 1
1 = 1 x 20 + 0
D'où : 583 = 1 x 29 + 1 x 26 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
Donc
583 = 1 x 29 + 0 x 28 + 0 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
C'est- à - dire 583 = ( 1001000111)2
Ainsi n x n ' = ( 1001000111)2
c-à-d ( 110101 )2 x ( 1011 )2 = ( 1001000111)2
Posons la multiplication :
1 1 0 1 0 1
x 1 0 1 1
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Retenues: 10 1 1
1
1
1 1 0 1 0 1 1+1+1+1 = 4 = (100 )2
1 1 0 1 0 1 10 + 1 = 11
0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1
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1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
Conclusion : On retrouve n x n ' = ( 1001000111)2
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