Petit Th. de Fermat TS spé math.

                                    Activité sur le petit théorème de Fermat        TS  spé maths  avril 2017

        ACTIVITE

       Le but de cette activité est d'émettre une conjecture qui correspond

      en fait à l'affirmation du petit th. de Fermat.

       << Si p est un nombre premier et a un entier naturel alors:   p |   ap − a    >>

      Ce th. n'étant pas explicitement au programme.

       Soit a et n deux entiers naturels quelconques avec  n ≥ 2.

       On veut observer les restes de la division euclidienne de an − a par n.

      1. Trouver ces restes dans chacun des cas suivants:

           •     a = 5    n = 2

           •      a = 5    n = 6 

           •      a = 5    n = 8

     2. Voici un tableau à double entrée où figurent les restes de la division

         euclidienne de an − a   par n

          quand  a  varie de 0 à 12   et  n varie de 2 à 13.

n  \  a   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10 11 12
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0
5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 6 6 4 4 2 2 0 0 6 6 4
9 0 0 6 6 6 3 3 3 0 0 0 6 6
10 0 0 2 6 2 0 0 2 6 2 0 0 2
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12 0 0 2 6 0 8 6 6 8 0 6 2 0
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     a. Vérifier à l'aide du tableau les résultats trouvés à la première question.

     b. Factoriser  a2  − a    avec a entier naturel quelconque.

         Démontrer que pour tout entier naturel a ,

         le reste de la division euclidienne de  a2  − a   par 2 est nul.

     c.   Démontrer que pour tout entier naturel a ,

         le reste de la division euclidienne de  a3  − a   par 3 est nul.

    d. Quelles sont les entiers naturels n pour lesquels il y a une ligne de 0 

       dans le tableau? Que peut-on remarquer sur ces entiers naturels n ?

    e. Emettre une conjecture.

    f. Peut-on envisager que:

              ap ≡ a  [ p ]  pour tout entier naturel a et tout nombre premier p ?

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  Remarque facultative:

        1. Pour info le Grand th.de Fermat

       ( hors programme et  démontré laborieusement en 1994 par Wiles) dit:

         << Soit n un entier naturel tel que n ≥ 3.

      Les solutions de  xn + yn  =  zn   , où x , y et z sont des entiers, 

     vérifient toutes la condition x y z = 0

      c-à-d     x = 0 ou y = 0 ou z = 0.  >>

          2.   Par contre pour n = 2  on trouve des situation favorables.

                Utilisons   le Th. de Pythagore.

                Soit ABC un triangle rectangle en A avec : AB = 3   AC = 4   BC = 5

                  On a:       AB2 + AC2   =  BC2    c-à-d         32  +  42    = 52

                   x = 3    y = 4    z = 5    conviennent