INFO EXTRAIT D'EXERCICE DE BAC PROBABILITE TS Mars 2011
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EXERCICE
QCM
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Aucune justification n'est demandée.
Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est
retiré pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher:
7 sont blanches et 3 sont noires
On tire simultanément 3 boules de l'urne.
La probabilité de tirer 2 boules blanches et une boule noire est:
21 / 40 ( 7 / 10 ) × ( 6 / 9 )× ( 1 / 3 ) ( 7 / 10 )× ( 7 / 10 )× ( 1 / 3 )
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Réponse:
21 / 40
En effet:
L'univers des possibles Ω est l'ensemble de combinaisons
de 3 boules prises parmi les 10 boules de l'urne.
Donc Card( Ω ) = C10 3 = 120 = 40 × 3
On est dans une situation d'équiprobabilité.
Soit A l'événement avoir deux boules blanches et une boule noire.
P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )
Tout élément de A est la réunion d'une partie de deux boules blanches avec
une partie de une boule noire.
Ainsi Card( A ) = C7 2 × C3 1 = 21 × 3
Donc
Conclusion : P( A ) = 21 / 40
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2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, puis
on la remet dans l'urne; On procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise.
La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
( 33 × 72 ) / 105 C5 2 × ( 3 / 10 )2 × ( 7 / 10 )3 C5 2 × ( 3 / 10 ) 3 × ( 7 / 10 )2
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Réponse: La bonne réponse est la trosième proposition.
C5 2 × ( 3 / 10 ) 3 × ( 7 / 10 )2
En effet:
L'univers des possibles Ω est l'ensemble des suites finies de 5 boules
de l'ensemble des 10 boules de l'urne.
Donc Card( Ω ) = 10 5
On est dans une situation d'équiprobabilité.
Soit A l'événement avoir 3 boules noires et 2 boule noire.
P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )
On a Card( A ) = C5 2 × 33 × 72
Il faut tenir compte qu'il faut réserver 2 places parmi 5 places pour les
2 boules blanches.
Donc P( A ) = ( C5 2 × 33 × 72 ) / 10 5
c-à-d
Conclusion : P( A ) = C5 2 × ( 3 / 10 )3 × ( 7 / 10)2
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3. Dans la même urne , on tire une seule boule.
Si elle est blanche, on lance un dé cubique ( dont les faces sont numérotées de 1 à 6 ).
Si elle est noire, on lance un dé tétraédrique ( dont les faces sont numérotées de 1 à 4 ).
On suppose les dés équilibrés.
Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré
une boule blanche est égale à :
7 / 60 14 / 23 [ ( 7 / 10 ) × ( 1 / 6 ) ] / [ ( 1 / 2 ) × ( 1 / 6 ) + ( 1 / 2 ) ×( 1 / 4 ) ]
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Réponse:
La bonne réponse est la seconde réponse
14 / 23
En effet:
Soit G l'événement " Gagné ".
Soit N l'événement " on a tiré une boule noire".
Soit B l'événement " on a tireé une boule blanche" .
Soit V l'événement " avoir la face 1 ".
On cherche P ( B / G ) .
Or P ( B / G ) = P( B ∩ G ) / P( G )
Donc il nous faut déjà trouver P( G ).
• On peut faire un arbre avec deux branches qui mènent à G.
/------------- B -------------- V
\-------------- N ------------ V
On a : G = ( N ∩ V ) U ( B ∩ V )
Comme ( N ∩ V ) , ( B ∩ V ) sont disjoints on a :
P( G ) = P ( N ∩ V ) + P ( B ∩ V )
c'est - à- dire comme P( N ) et P( B ) non nulles
P( G ) = P( N ) × P( V / N ) + P( B ) × P( V / B )
c-à-d P( G ) = ( 3 / 10 ) × ( 1 / 4 ) + ( 7 / 10 ) × ( 1 / 6 )
• D'autre part :
P ( B / G ) = P( B ∩ G ) / P( G )
c-à-d P ( B / G ) = ( P( B ) × P( G / B ) ) / P( G )
P( B / G ) ( ( 7 / 10 ) × ( 1 / 6 ) ) / [ ( 3 / 10 ) × ( 1 / 4 ) + ( 7 / 10 ) × ( 1 / 6 ) ]
c-à-d
P( B / G ) = ( 7 / 60 ) / ( ( 9 + 14) / 120 ) )
c-à-d
P( B / G ) = 7 / ( 23 / 2 ) = 14 / 23
Conclusion : P( B / G ) = 14 / 23