INFO 1 TEST PROBA 11 mars 2011

              TEST          SUR LES PROBABILITES                     Vendredi  mars 2011

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           EXERCICE 1.                                                                   

          Dans une fête foraine un stand propose d'extraire simultanément deux jetons

         d'un sac qui contient  2 jetons rouges , 3 jetons blancs et 4 jetons noirs indiscernables

          au toucher.

                                                          

        • Pour chaque jeton rouge obtenu, le joueur obtient  3 €. 

        • Pour chaque jeton blanc obtenu, le joueur obtient   2 € . 

        • Pour chaque jeton noir obtenu, le joueur doit débourser     3 € . 

       Soit A l'événement :" Le joueur a obtenu deux jetons rouges"

       Soit B l'événement :" Le joueur a obtenu deux jetons noirs"

       Soit C l'événement :" Le joueur a obtenu deux jetons blancs"

       Soit D l'événement :" Le joueur a obtenu un jeton noir et un jeton blanc" 

       Soit E l'événement :" Le joueur a obtenu un jeton noir et un jeton rouge" 

       Soit F l'événement :" Le joueur a obtenu un jeton rouge et un jeton blanc" 

           1. Trouver les probabilités P( A ) , P( B ) , P( C ), P( D) , P ( E ) , P( F ).

            2. Quelle est la probabilité que le joueur reparte avec dans son porte monnaie

                un montant en euros au moins égal à celui de l'arrivée?

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         Réponse:

            1. L'univers de possibles  Ω est l'ensemble des combinaisons de 2 jetons pris parmi les 9

                jetons.   Card( Ω ) = C 9 2    = 36

              On est dans une situation d'équiprobabilité.

               •  Calcul de P( A )

                           B On a :    P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )

                             avec         Card( A ) = 1

                         Conclusion :  P( A ) = 1 / 36                

                •  Calcul de P( B) .

                            On a :    P( B ) = Card( B ) / Card( Ω )

                             avec         Card( B) =  C4 2   =  6

                             Donc    P( B ) =  6 / 36

                     Conclusion :  P( B ) = 1 / 6                           

               •  Calcul de P( C).

                               On a :    P( C ) = Card( C ) / Card( Ω )

                               avec         Card( C) =  C3 2   =  3

                                    Donc    P( C ) =  3 / 36

                          Conclusion :  P( C ) = 1 / 12         

                   •  Calcul de P( D ).                       

                                      On a :    P( D) = Card( D ) / Card( Ω )

                                       avec         Card( C) =  C4 1    ×    C3 1      =   4  ×  3    =  12

                                  Donc    P( D ) = 12 / 36

                                    Conclusion :  P( D ) = 1 / 3                         

                     •  Calcul de P( E ).                       

                                       On a :    P( E) = Card( E ) / Card( Ω )

                                        avec     Card( E ) =  C4 1    ×    C2 1        = 4  ×  2    =  8

                                       Donc         P( E ) = 8 / 36

                            Conclusion :  P( E ) = 2 / 9          

                    •  Calcul de P( F ).

                                               On a :    P( F) = Card( F ) / Card( Ω )

                                                    avec     Card( F) =   C2 1    ×    C3 1        = 2  ×  3    =  6

                                                 Donc         P( F) =  6 / 36

                                      Conclusion :  P( F ) = 1 / 6 

                  2.   Les gains algébriques du joueur sont :  - 6 € ; - 1 € ; 0 € ; 4 € ; 5 € ; 6 €

                         Les seuls cas où le joueur repart avec une perte sont les

                         événements B , D.

                       •   Pour B , il a tiré deux jetons noirs qui lui coùtent  6 €.

                        Le solde pour le joueur est alors - 6 €

                        •  Pour  D , il a tiré un jeton rouge qui lui procure 2 €  et un jeton noir qui lui coûte 3 €.

                         Le solde pour le joueur est alors - 1 €

                         Dans les autres cas il obtient  0 €  ou  4 € ou 5 € ou 6 €.

                         La probabilité cherchée est celle de l'événement contraire à  B U D.

                              P( B U D ) = P( B ) + P( D )     car B , D sont disjoints

                         Or   1 -    P( B U D ) =  1 - P( B ) -  P( D )

                          c-à-d      1 -    P( B U D ) =  1 - 1 / 6  - 1 / 3  =  1 -  3 / 6 = 1 / 2 

                         La probabilité cherchée est donc 1 / 2     

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