INFO TEST SUR LES PROBABILITES 11 mars 2011
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EXERCICE 4.
On met dans une urne 100 billets dont 75 billets comportent la mention "reçu" et 25 billets
comportent la mention "refusé".
1. On tire au hasard un billet . Quelle est la probabilité notée p d'avoir un billet " reçu"?
2. A présent on tire successivement avec remise 24 fois un billet de l'urne.
Soit A l'événement : On a obtenu d'abord 17 billets " reçu", puis 7 billets " refusé ".
Soit B l'événement : On a obtenu 17 billets " reçu" et 7 billets " refusé " dans n'importe
quel ordre.
a. Donner Card( A ). Donner P( A ).
b. Donner Card( B ). Trouver P( B).
c. Soit X l'application qui à chaque tirage de 24 billets associe le nombre
de billets "reçu ". Que vaut P( X = 17 ) ?
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Réponse:
1 . On est dans une situation d'équiprobabilité.
L'univers des possible est l'ensemble des 100 billets.
75 billet sont marqués " reçu ".
Donc
Conclusion: p = 75 / 100
2. a. L'événement A correspond à une 24 liste d'éléments de l'ensemble
{ " reçu " , " refusé " } où " reçu " se trouve au 17 premières places
et "refusé " se trouve aux 7 places suivantes.
Schéma : | 75 | 75 | .... | 75 | 25 | 25 | ...... | 25 |
Ainsi on a : Card( A ) = 7517 × 257
Card( Ω ) = 10024 Chaque issue correspond en effet
à une 24 liste des éléments d'un ensemble de 100 billets.
Comme on est dans une situation d'équiprobabilité:
P( A ) = Card ( A ) / Card( Ω )
Donc ici:
Conclusion : P( A ) = ( 7517 × 257 ) / 10024
b. Il y a C 24 17 façons de réserver 17 places parmi 24 places pour les " reçu" .
Card( B ) = C 24 17 7517 × 257
Comme P( B ) = Card( B ) / Card( Ω)
On a:
Conclusion: P( B ) = ( C 24 17 7517 × 257 ) / 10024
c . P( X = 17 ) = P( B )
En effet , avoir d'abord 17 fois "reçu" puis après 7 fois " refusé " correspond
à l'événement B.