INFO INITIATION AUX V.A.R. BTS 1 JANVIER 09
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• EXERCICE 1 . A CHERCHER
Un joueur lance deux dés successivement dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Il gagne la somme des deux chiffres en euros.
L'univers des possibles Ω est l'ensembles des 36 couples ( a , b ) où a et b sont dans
l'ensemble { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .
Soit X l'application de Ω dans IR qui à chaque couple ( a , b ) de Ω associe a + b .
X( Ω ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,12 }
1. Trouver la loi de probabilité de la v.a.r discrète X .
2. Trouver E( X ) l'espérance de X.
3 . Trouver la variance V( X ).
4. Trouver l'écart type σ( x ) .
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REP Faisons un tableau à double entrée pour les sommes.
| a \ b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
On est dans une situation d'équiprobabilité.
1. Loi de probabilité de X.
| x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| P( X =x ) | 1 /36 | 2/ 36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
P( X = 2 ) = Card ( X = 2 ) / Card( Ω) Donc P( X = 2 ) = 1 / 36
etc .......
2. Donnons E( X ) .
E(X ) = 2 ( 1 / 36 )+ 3 ( 2 / 36 )+ 4 ( 3 / 36)+ 5 ( 4 / 36 )+ 6 ( 5 / 36)+ 7 ( 6 / 36)+ 8 ( 5 / 36 )+ 9 ( 4 / 36 )+ 10 ( 3 / 36 )+ 11 ( 2 / 36 )+12 (1/36)
Conclusion: E( X ) = 7 euros
3. Donnons V( X).
On a:
E( X² ) = 4 ( 1 / 36 )+ 9 ( 2 / 36 )+ 16 ( 3 / 36)+ 25 ( 4 / 36 )+ 36 ( 5 / 36)+ 49 ( 6 / 36)+ 64 ( 5 / 36 )+ 81 ( 4 / 36 )+ 100 ( 3 / 36 )+ 121 ( 2 / 36 )+144(1/36)
E( X² ) =1974 /36
E( X² ) - ( E( X ) ² ) = (1974 / 36 ) - 49 = 210 / 36 = 35 / 6
Conclusion: V(X) ≈ 5, 833
4. Donnons σ( x ) .
Conclusion: σ( x ) ≈ 2,41 euros.
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•EXERCICE 2 . A CHERCHER
Dans une fête foraine un stand propose de faire tourner une roue comportant
10 secteurs égaux; 3 secteurs rouge ; 4 secteurs jaunes ; 3 secteurs verts.
• Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 16 euros.
• Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 1 2 euros.
• Si le joueur obtient le secteur vert alors il fait de nouveau tourner la roue.
• • Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 8 euros.
• • Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 2 euros.
• • Si le joueur obtient le secteur vert alors il ne perd rien et ne gagne rien.
Soit X le gain algébrique du joueur.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Donner l'espérance de X.
( On commencera par faire un arbre pondéré.)
3. Quel devrait être le montant à faire payer par le joueur pour que le jeu soit équitable?
4. Trouver l'écart-type de X.
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REP
1. Les valeurs prises par X sont : - 12 ; - 2 ; 0 ; 8 ; 16 .
La loi de probabilité de X est:
| x | -12 | -2 | 0 | 8 | 16 |
| P( X =x) | 40 / 100 | 12 / 100 | 9 / 100 | 9 / 100 | 30 / 100 |
P( X = 16 ) = 3 / 10 car il y a 3 secteurs rouges parmi les 10 secteurs.
P( X = - 12 ) = 4 / 10 car il y a 4 secteurs jaunes parmi les 10 secteurs.
P( X = 8 ) = P ( V1 ) P( R2 / V1 ) = ( 3 / 10 ) ( 3 / 10 ) = 9 / 100
P( X = - 2 ) = P ( V1 ) P( J2 / V1 ) = ( 3 / 10 ) ( 4 / 10 ) = 12 / 100
P( X = 0 ) = P ( V1 ) P( V2 / V1 ) = ( 3 / 10 ) (3 / 10 ) = 9 / 100
2. L'espérance de X est:
E( X ) = -12 ×( 40 / 100) - 2 ×(12 / 100 ) + 8 ×( 9 / 100 ) + 16 ×( 30 / 100 ) = 0 , 48
E( X ) = 0 , 48
3. Pour que l'espérance soit nulle il faut faire payer 0,48 euros au joueur pour jouer.
Cela revient à considérer la v.a.r Y = X - 0,48 dont l'espérance est nulle.
4. La variance de X est V( X ):
V(X) =( -12 )2 × ( 40 / 100)+ ( - 2)2 × (12 / 100 ) + 8 2 × ( 9 / 100 ) + 162 ×( 30 / 100 ) - 0,482
V(X) = 140,4096
5. L'écart-type est: σ( X) = √ V(X) = 11,8495