LISTE D'EX SUR LES PROBABILITES BTS1 DEC . 08
EX.4. ( Cas où on n'est pas dans une situation d'équiprobabilité)
On lance un dé " pipé" dont les faces sont numérotées : 1;2;3;4;5;6.
On note p1 , p2 , ..... , p6 les probabilités des événements
élémentaires.
Ainsi: P ( { 1 } ) = p1
P ( { 2 } ) = p2
.........................
P ( { 6 } ) = p6
( Mais attention comme le dé est truqué on n'a pas
p1 = p2 = ..... = p6 = 1 / 6 )
On a les conditions suivantes:
• 2 p1 = 3 p4
• p1 , p2 , p3 sont les trois premiers termes d'une
suite géométrique de raison 1 / 2 .
• p4 , p5 , p6 sont les trois premiers termes d'une
suite arithmétique de raison 1 / 8 .
1. Trouver p1 et p2 .
Trouver ensuite les autres probabilités p3 , p4 , p5 , p6 .
2. Soit A l'événement " Obtenir un chiffre pair " .
Donner P( A ) .
Si le dé n'avait pas été truqué alors qu'aurait -on pour la probabilité de A ?
REP . 1. Trouvons p1 et p2 .
On dispose des information suivantes:
p1 + p2 + ..... + p6 = 1 ( 1 )
( D'apès la définition d'une probabilité )
2 p1 = 3 p4 Donc p4 = ( 2 / 3 ) p1
p3 = ( 1/2 )2 p1 et p2 = ( 1/2 ) p1
p6 = 2×( 1/8 ) + p4 et p5 = ( 1/8 ) + p4
Nous allons remplacer dans l'égalité ( 1 ) les probabilités
p2 , ..... , p6 en fonction de p1 .
On aura alors une égalité où la seule inconnue sera p1 .
On pourra donc trouver p1 . Ensuite en cascade on obtiendra les autres
probabilités demandées.
( 1 ) s'écrit :
p1 + ( 1/2 ) p1 + ( 1/2 )2 p1 + ( 2 / 3 ) p1 + [ ( 1 / 8 ) +( 2 / 3 ) p1 ] + [ 2×( 1 /8 ) +( 2 / 3 ) p1 ] = 1
c-à-d p1 ( 1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 /4 ) + ( 2 / 3 ) + ( 2 / 3 ) + ( 2 / 3 ) ) + ( 1 / 8 ) + ( 2 / 8 ) = 1
c-à-d p1 ( 1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 /4 ) + 2 ) + ( 3 / 8 ) = 1
c-à-d p1 ( 1 + ( 1 / 2 ) + ( 1 /4 ) + 2 )= 1 - ( 3 / 8 )
c-à-d p1 ( 3 + ( 3 / 4 ) ) = 5 / 8
c-à-d p1 ( 15 / 4 ) ) = 5 / 8
c-à-d p1 = ( 5 / 8 ) ( 4 / 15 ) = 1 / 6
Donc p1 = 1 / 6
Ensuite p2 = ( 1/2 ) p1 = ( 1 / 2 )( 1 / 6 ) = 1 / 12
Puis p3 = ( 1/2 )2 p1 = ( 1 / 4 ) ( 1 / 6 ) = 1 / 24
Puis p4 = ( 2 / 3 ) p1 = ( 2 / 3 ) ( 1 / 6 ) = 1 / 9
Puis p5 = ( 1/8 ) + p4 = ( 1 / 8 ) + ( 1 / 9 ) = 17 /72
Puis p6 = 2×( 1/8 ) + p4 = ( 1/ 4 ) + ( 1 /9 ) = 13 / 36
Conclusion: p1 = 1 / 6
p2 = 1 / 12
p3 = 1 / 24
p4 = 1 / 9
p5 = 17 /72
p6 = 13 / 36
2 . Donnons P( A ).
P( A ) = p2 + p4 + p6 = ( 1 / 12 ) + ( 1 / 9 ) + ( 13 / 36 )
Donc P( A ) = ( 16 / 36 ) + ( 1 / 9 ) = ( 4 / 9 ) + ( 1 / 9 )
Conclusion: P( A ) = 5 / 9
Au lieu de 1 / 2 si le dé n'était pas truqué.
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