LISTE 3 D'EX DE PROBABILITES BTS1 JANVIER 2009
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EX. 1 ( SUR LES PROBABILITES CONDITIONNELLES. )
On lance successivement deux dés non pipés dont les faces sont
numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
L'univers des posibles Ω est l'ensemble des couples ( a , b ) tels que
a et b soient dans l'ensemble { 1 , 2 ,3 , 4 , 5 , 6 }.
Soit X l'application de Ω dans IR qui à chaque couple ( a , b ) associe a + b .
( X est une variable aléatoire réelle discrète définie dans Ω.)
Soit Y l'application de Ω dans IR qui à chaque couple ( a , b ) associe sup( a , b ).
( Y =< 3 ) désigne l'ensemble des couples ( a , b ) tels que sup( a , b ) = < 3 .
Notons ( Y =< 3 ) = D
( X >= 5 ) désigne l'ensemble des couples ( a , b ) tels que a + b >= 5 .
Notons ( X >= 5 ) = E .
1. Compléter le tableau à double entrée sdes somme a + b:
a \ b
1
2
3
4
5
6
1
2
7
3
4
5
6
2. Trouver de deux façons la probabilité d' avoir la somme supérieure ou égale à 5 sachant que
le plus grand chiffre obtenu est inférieur ou égal à 3.
On rappelle que : P(Y=<3 )( X>= 5 ) = P( ( X>= 5 ) ∩ ( Y=< 3 )) / P( Y =<3 )
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REP
1. complétons le tableau des sommes.
| a \ b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
2. Trouvons PD(E).
a. Première méthode avec la formule.
On est dans une situation d'équiprobabilité.
PD(E ) = P ( E ∩ D ) / P( D )
P( E ∩ D ) = Card( E ∩ D ) / Card (Ω)
On a : Card( Ω) = 36.
| a \ b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D'après les deux tableaux il n'y a que trois sommes à la fois bleues et rouges.
Elles correspondent au couples ( 2 , 3 ) (3 , 2 ) ( 3 , 3 ) .
Donc Card( E ∩ D ) = 3
P( E ∩ D ) = 3 / 36
De plus P( D) = Card( D ) / Card ( Ω)
comme il y a 9 sommes rouges on a Card( D ) = 9
Ainsi: P( D ) = 9 / 36
La probabilité cherchée est : PD( E ) = ( 3 / 36 ) / ( 9 / 36 )
c-a-d PD( E ) = 3 / 9 = 1 / 3
Conclusion: PD( E ) = 1 / 3
b . Autre méthode:
On considère pour l'univers des possibles Ω ' l'ensemble des couples
tels que les chiffres soient inférieurs ou égaux à 3. ( Ω ' = D )
On intègre dès le départ dans la définition de Ω '
le fait que l'on sait que les chiffres des couples
soient inférieurs ou égaux à 3.
a \ b
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
Card( Ω ' ) = 9
Soit A l'événement :" La somme des termes des couples est supérieure ou égale à 5."
Comme parmi les couples de Ω ' il y a 3 couples seulement
dont la somme des termes est supérieure ou égale à 5,
on a Card( A ) = 3 .
On est dans une situation d'équiprobabilité.
P( A ) = Card( A ) / Card( Ω ' )
c-à-d P( A ) = 3 / 9
Conclusion: P( A ) = 1 / 3
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EX. 2 Un candidat à un examen sait qu'il se verra proposer à l'oral soit
une question de type A avec une probabilité 0,6 , pour laquelle il a
une probabilité de 0,4 d'avoir la moyenne , soit une question de type B
avec une probabilité de 0,4 , pour laquelle il a une probabilité de 0,7
d'avoir la moyenne .
1. Quelle est la probabilité pour ce candidat d'obtenir la moyenne?
2. Sachant qu'il a obtenu la moyenne , quelle est la probabilité pour
qu'il ait été interrogé sur une question de type B ?
3. Sachant qu'il n'a pas obtenu la moyenne, quelle est la probabilité
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REP Soit M l'événement :" Obtenir la moyenne"
Soit A l'événement : " Interrogé sur une question de type A "
Soit B lévénement : " Interrogé sur une question de type B"
1. Trouvons la probabilité que le candidat ait la moyenne , c-à-d trouvons P( M ).
( On peut faire un arbre. )
On a : M = ( A ∩ M ) U ( M ∩ B )
Comme ( A ∩ M ) ∩ ( A ∩ M ) = Ø
P( M ) = P( A ∩ M ) + P ( M ∩ B )
c-à-d P( M ) = P( A ) PA( M ) + P( B ) PB ( M )
c-à-d P( M ) = 0,6 × 0,4 + 0,4 × 0,7 = 0,52
Conclusion : P( M ) = 0,52
2. Calcul de PM ( B ).
On a : PM ( B ) = P( B ∩ M ) / P( M )
Donc : PM ( B ) = ( 0,4 × 0,7 ) / 0,52 = 7 / 13
Conclusion: PM ( B ) = 7 / 13
3. Calcul de Pnon M ( A ).
On a : Pnon M ( A ) = P( A ∩ non M ) / P( non M )
Donc : Pnon M ( A ) = ( 0,6 × 0,6 ) / ( 1 - 0,52 )
Pnon M ( A ) = 0,36 / 0,48
Conclusion: Pnon M ( A ) = 3/ 4
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