NOM: ................. PRENOM: ............... DATE: ............... CLASSE: BTS
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Il y a six cartons dont 3 cartons rouges , 1 carton orange , 2 cartons verts dans une urne.
Le joueur doit payer 10 euros pour participer. Il tire alors un carton.
Il reçoit 10 euros pour un carton orange , 0 euros pour un carton rouge , m euros pour un
carton vert. ( m > 10 )
Soit X la v.a.r. discrète qui indique la gain algébrique du joueur.
1. Quelles sont les valeurs de X ? - 10 ; 0 ; m - 10
2. Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de X.
| x | -10 | 0 | m - 10 |
| P( X = x ) | 3 / 6 | 1 / 6 | 2 / 6 |
3. Trouver l'espérance de X en fonction de m.
E( X ) = - 10 × 3 / 6 + ( m - 10 ) × 2 / 6 = - 30 / 6 + 2 m / 6 - 20 / 6
E(X ) = - 50 / 6 + 2 m / 6
E( X ) = ( m - 25 ) / 3
4. Pour quelle valeur de m le jeu est-il équitable ? Quand E( X ) = 0
c-à-d quand m - 25 = 0 c-à-d quand m = 25
5. Compléter le tableau:
| x² | 100 | 0 | ( m - 10 )² |
| x | - 10 | 0 | m - 10 |
| P( X = x ) | 3 / 6 | 1 / 6 | 2 / 6 |
6. Trouver la variance V( X ) en fonction de m.
V( X ) = 100 × 3 / 6 + ( m - 10 )² × 2 / 6 - ( ( m - 25 ) / 3 )²
V( X ) = ( 300 + 2 m² - 40 m + 200 ) / 6 - ( m² - 50 m + 625 ) / 9
V( X ) = ( 2 m² - 40 m + 500 ) / 6 - ( m² - 50 m + 625 ) / 9
V( X ) = ( m² - 20 m + 250 ) / 3 - ( m² - 50 m + 625 ) / 9
V( X ) = ( 3 m² - 60 m + 750 - m² + 50 m - 625 ) 9
V( X ) = ( 2 m² - 10 m + 125 ) / 9
7. Trouver P ( X > 0 ) = P( X = m - 10 )
P( X > 0 ) = 2 / 6
P( X > 0 ) = 1 / 3
8. Le joueur décide de jouer 10 fois de suite à ce jeu.
Soit Y la v.a.r qui indique à la fin lenombre de fois où le gain a été strictement positif.
Trouver P( Y = 0 ) = ( 1 - 1 / 3 )10 = ( 2 / 3 )10
P( Y = 0 ) ≈ 0,0173
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