INFO TRAVAIL BTS MARS 2011

                    INFO  TRAVAIL   BTS 1          Mars 2011

                                 Voici le travail qui est demandé. Vous pouvez  le rédiger

                                sur ordinateur à l'aide d'un traitement de texte et d'un tableur.

                               Tous les documents sont autorisés y compris les informations de ce site. 

                      TRAVAIL .

                              Les parties I , II  , III sont indépendantes.

                      PARTIE I

                            La centrale de TAKADAISUCHI au pays du soleil brillant comporte 4 réacteurs.                              

                           Chacun d'entre eux se trouve isolé dans une enceinte de béton qui peut

                           résister théoriquement à tous les aléas climatiques ou sismiques connus.

                           Mais au dessus d'une magnitude de 8, un tremblement de terre est sûr 

                          d'endommager au moins l'un des réacteurs.                          

                           D'autre part:

                          •  Le réacteur n°1 a une probabilité   p₁  de fusionner en cas de problème.

                          •   Le réacteur  n° 2  a une probabilité p₂  d'exploser en cas de problème.

                          •   Le réacteur  n° 3 a une probabilité p₃  de se désintégrer  en cas de problème.

                          •   Le réacteur  n° 4  a une probabilité p₄  de se consumer en cas de problème.

                             On sait par ailleurs:

                             Le réacteur   n° 2  a deux fois plus de "chance " d'exploser que le 

                             réacteur n° 1 de fusionner.

                             Le réacteur n° 1 a  trois fois plus de chance de fusionner que le

                             réacteur n ° 4  de se consumer.       

                            Le réacteur n° 3 a autant de chance de se désintégrer que le réacteur n ° 4   

                              de se consumer.                             

                             Contrairement à toute attente.... un tremblement de terre de magnitude 9 se produit .

                             En admettant qu'alors   p₁  +  p₂ +  p₃   + p₄    = 1   

                             trouver     p₁  ,  p₂ ,   p₃   , p₄    .                           

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           Réponse:

                      Trouvons:     p₁  ,  p₂ ,   p₃   , p₄    .

                       On a :       p₁  +  p₂ +   p₃   + p₄   = 1              ( 1 )               

                         Mais :

                          p₂  = 2  p₁              car le réacteur  n° 2  a deux fois plus de "chance " d'exploser que le 

                                                          réacteur n° 1 de fusionner.

                          p₁   = 3 p₄             car   le réacteur n° 1 a  trois fois plus de chance de fusionner que le

                                                         réacteur n ° 4  de se consumer.       

                          p₃   = p₄                car  le réacteur n° 3 a autant de chance de se désintégrer que le réacteur n ° 4   

                                                          de se consumer.

                          Cela permet   en reportant dans ( 1 ) d'avoir une équation avec une seule inconnue.

                               Ainsi :               p₁    +    p₂    +    p₃    +   p₄    =1

                             s'écrit                 3 p₄  +   2 p₁ +     p₄  +    p₄   = 1

                              c-à-d                  3 p₄  + 2 ( 3 p₄  ) +  p₄  + p₄   = 1

                               c-à-d                11 p₄   = 1

                            D'où :                                                              p₄   = 1 / 11

                            Puis                     p₃   = p₄          donne        p₃    =  1 / 11

                          Ensuite                 p₁   = 3 p₄       donne       p₁   = 3 / 11

                          Enfin                     p₂   =   2   p₁    donne      p₂   =  6  / 11

                        Conclusion:  On bien trouvé    p₁  ,  p₂ ,   p₃   , p₄   .

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            PARTIE II.

                      Contrairement à toute attente.... un tremblement de terre se produit !

                      Le directeur de la centrale,  MATHATA, estime que

                      la probabilité qu'a un réacteur d'être endommagé est 0,05.

                      Les réacteurs sont considérés comme indépendants .

                     Soit X  la variable aléatoire  qui indique le nombre de réacteurs endommagés.                  

                  1. a. Donner la loi de X.

                           Réponse :

                            On répète 4 fois de façon indépendante une epreuve de Bernoulli

                           dont les issues sont " Endommagé" et " non Endommagé " avec 0,05 la

                           probabilité de " Endommagé".

                          Comme  X la variable aléatoire  qui indique le nombre de " Endommagé" ,  on a :

                                    Conclusion : X suit   la loi binomiale de type B ( 4 ; 0 ,05 )    

                      b. Calculer P( X = 2 )  et P( X ≥ 1 ).

                     •   On a :     P( X = 2 )  =  C₄ ²    0,05²   ×  0,95²

                         Ainsi  :    

                            Conclusion :     P( X = 2 )  ≈   0,0135     

                  •  P( X ≥ 1 ) = 1 - P( X < 1 ) = 1 - P( X = 0 )

                         Donc       P( X ≥ 1 ) =  1 - 0,95⁴

                           Conclusion :     P( X   ≥ 1 )  ≈   0,1855

              2. Calculer l'espérance de X , notée E( X ),  et la variance de X , notée V(X ) .

                        E( X ) = np    c-à-d         E( X ) = 4  × 0,05

                           Conclusion :  E( X ) = 0,2

                        V( X ) = npq     c-à-d      V( X ) = 4  × 0,05  × 0,95

                            Conclusion :  V( X ) = 0,19    

               3. Compléter le tableau:    

                   On a :

                    P( X = 0 )  =  0,95⁴                                            P( X = 0 )  ≈   0,8145  

                   P( X =  1)  =  C₄ ¹    0,05   ×  0,95³                   P( X =  1)  ≈  0,1714

                   P( X =  3 )  =  C₄ ³    0,05³   ×  0,95                  P( X =  3)  ≈  4,75 . 10^{- 4}  

                   P( X =  4 )  =  C₄ ⁴    0,05⁴  ×  0,95⁰                  P( X =  4 )  ≈   6,25 .   10^{- 6}          

             4. Faire un diagramme  à bâtons avec x en abscisse et P( X = x ) en ordonnée.

                PARTIE III.

                      Manque de chance un nuage radioactif s'échappe des réacteurs.                     

                      Monsieur le directeur MATHATA a tout prévu. Il dispose de deux

                      pilotes d'hélicoptère, volontaires A.. BANZAI et F.. KAMIKAZE, qu'il envoye au dessus

                      de la centrale pour prendre des mesures.

                     Soit Y la variable aléatoire qui indique le nombre personnes

                     irradiées dans un rayon de 30 Km.

                     Il admet que Y suit une loi de Poisson  de paramètre λ > 0  et que

                        P( Y = 0 ) = 0,018

                    1. Trouver  λ  ( On donnera une valeur entière )

                          On a  :     P( Y = 0 ) =  e^-  λ    × (    λ⁰  /  0!  ) = e^-  λ    × (  1 / 1  ) =   e^-  λ 

                          On a :       e^-  λ  = 0,018 

                          c-à-d        - λ   = ln 0,018

                          c-à-d         λ    ≈  4,0174

                         Conclusion:    λ    ≈ 4

                        Que vaut l'espérance de Y , notée  E( Y ) ?

                            On sait que:       E( Y  )  =  λ 

                            Donc :

                             Conclusion: E( Y )   ≈  4    

                    2.  Trouver P( Y  ≥ 5 ).

                     On a :  P( Y  ≥ 5 ) = 1 - P( Y < 5 ) =

                   c-à-d      P( Y  ≥ 5 ) = 1 - P( Y = 0 ) - P( Y = 1 ) - P( Y = 2 ) - P( X = 3 ) - P( X = 4 )

                    D'après la table de Poisson on a :

                               P( Y  ≥ 5 ) = 1 - 0,018 - 0,073 - 0,147 - 0,195 - 0,195

                         Conclusion:  P( Y  ≥ 5 )  ≈   0,372 

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