INITIATION AUX VARIABLES ALEATOIRES REELLES DICRETES BTS 1 Janv. 09
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• Définition. Toute application de l'univers des possibles Ω , d'une expérience aléatoire,
dans IR est une variable aléatoire réelle définie dans Ω.
• EX. Un joueur lance deux dés successivement dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Il gagne la somme des deux chiffres en euros.
L'univers des possibles Ω est l'ensembles des 36 couples ( a , b ) où a et b sont dans
l'ensemble { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .
L'application X de Ω dans IR qui à chaque couple ( a , b ) de Ω associe a + b
est une variable aléatoire définie dans Ω.
Ici X( Ω ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,12 }
X( Ω ) est appelé " univers image".
On note ( X = 2 ) l'événement " La somme des chiffres est 2 "
etc
( X = 12 ) " la somme des chiffres est 12."
Tous ces événements sont des parties de Ω , qui sont non vides , disjointes deux à
deux et de réunion Ω. On parle de partition de Ω.
• Quand on peut indexer sur IN les valeurs d'une v.a.r on dit qu'elle est discrète.
• Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à sa loi de probabilité.
c'est un tableau :
| x | x1 | .... | .... | xN |
| P( X = x ) | P( X = x1) | ... | .. | P( X = xN) |
Si x1 , .... , xN sont les valeurs de X .
• Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à son espérance notée E( X ) .
E( X ) = x1 P( X = x1) + .......+ xN P( X = xN)
C'est la valeur que l'on peut espérer pour X.
• Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à la variance V( X )
C'est : V( X ) = E( X ² ) - ( E ( X ) ) ²
c-à-d V( X ) = x1 2 P( X = x1) + ......... + x2 2 P( X = x2) -( E( X ) )²
C'est un paramètre de dispersion.
• Quand on a une v.a.r. discrète on s'intéresse à l' écart type.
C'est la racine carrée de la variance.
σ( x ) = √( V( X ) )
Plus σ( x ) est grand moins on peut faire confiance à l'espérance.
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• EXERCICE 1 . A CHERCHER
Un joueur lance deux dés successivement dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Il gagne la somme des deux chiffres en euros.
L'univers des possibles Ω est l'ensembles des 36 couples ( a , b ) où a et b sont dans
l'ensemble { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .
Soit X l'application de Ω dans IR qui à chaque couple ( a , b ) de Ω associe a + b .
X( Ω ) = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 ,12 }
1. Trouver la loi de probabilité de la v.a.r discrète X .
2. Trouver E( X ) l'espérance de X.
3 . Trouver la variance V( X ).
4. Trouver l'écart type σ( x ) .
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•EXERCICE 2 . A CHERCHER
Dans une fête foraine un stand propose de faire tourner une roue comportant
10 secteurs égaux; 3 secteurs rouge ; 4 secteurs jaunes ; 3 secteurs verts.
• Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 16 euros.
• Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 1 2 euros.
• Si le joueur obtient le secteur vert alors il fait de nouveau tourner la roue.
• • Si le joueur obtient le secteur rouge alors il gagne 8 euros.
• • Si le joueur obtient le secteur jaune alors il perd 2 euros.
• • Si le joueur obtient le secteur vert alors il ne perd rien et ne gagne rien.
Soit X le gain algébrique du joueur.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Donner l'espérance de X.
( On commencera par faire un arbre pondéré.)
3. Quel devrait être le montant à faire payer par le joueur pour que le jeu soit équitable?
4. Trouver l'écart-type de X.
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