EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE 1S AVRIL 2009
EXERCICEC 13
Le plan est muni d'un repère orthonormal
Soit les droite :
D: y = 2 x + 1
D' : y = - ( 1 / 2 ) x + 3
1. Donner pour chaque droite un vecteur normal.
2. Les droites D et D' sont-elles orthogonales?
3. Généralisation:
Soit les droites :
D: y = a x + b
D' : y = a' x + b'
Quelle est la condition sur a et a' pour que D et D' soient orthogonales?
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Réponse:
1. On a : D : 2 x - 1 y + 1 = 0
D' : - ( 1 / 2 ) x - 1 y + 3 = 0
Soit le vecteur vect( n ) de coordonnées ( 2 ; - 1 )
Soit le vecteur vect( n' ) de coordonnées ( - ( 1 / 2 ) ; - 1 ) .
Conclusion: Le vecteur vect( n ) est un vecteur normal à D .
Le vecteur vect( n' ) est un vecteur normal à D' .
2. Il suffit de regarder si les vecteurs vect( n ) et vect( n' ) sont orthogonaux.
On a : vect( n ) . vect( n' ) = 2 ( - ( 1 / 2 ) ) + ( - 1 )( - 1 ) = - 1 + 1 = 0
c-à-d vect( n ) . vect( n' ) = 0
Les vecteurs vect( n ) et vect( n' ) sont orthogonaux.
Conclusion : OUI . Les deux droites D et D' sont orthogonales.
3. Généralisation.
On a :
D : a x - 1 y + b = 0
D' : a' x - 1 y + b' = 0
Le vecteur vect( n ) de coordonnées ( a , - 1 ) est un vecteur normal à D.
Le vecteur vect( n' ) de coordonnées ( a' , - 1 ) est un vecteur normal à D' .
vect( n ) . vect( n' ) = a a' + ( - 1 ) ( - 1 ) = a a' + 1
Ainsi : vect( n ). vect( n' ) = 0 ssi a a' + 1 = 0
c-à-d vect( n ). vect( n' ) = 0 ssi a a' = - 1
Conclusion : Les droites D: y = a x + b et D' : y = a' x + b' sont orthogonales
si et seulement si a a' = - 1
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