EX 5 PROD SCAL 1S AVRIL 09

 EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE   AVRI 09     1S

    EXERCICE 5

   Soit ABCD un carré.

Soit I et J les milieux respectivement des segments [ AB ] et [ BC ].

  a. Calculer  le produit scalaire suivant:

            vect( AJ ) . vect( ID )

  b. En déduire un vecteur normal à la droite ( AJ ).

  ---------------------------------------------------------------------------------

  Réponse :

        a. D'après Chasles :

               vect( AJ ) =  vect( AB ) + vect( BJ )

               vect( ID ) = vect( IA ) + vect( AD )

             Ainsi :     vect( AJ )  .  vect( ID )  = (   vect( AB ) + vect( BJ )  ) . (   vect( IA ) + vect( AD )   )

            Donc par bilinéarité du produit scalaire on a:

vect( AJ ) . vect( ID ) = vect( AB ) . vect( IA ) + vect( AB ). vect( AD ) + vect(BJ) . vect( IA ) + vect( BJ ) . vect( AD )

  Or  les segments  [ AB ] et [ AD ] sont orthogonaux de même

  que les segments [ BJ ] et [ IA ] .

   Donc:

         vect( AJ ) . vect( ID ) = vect( AB ) . vect( IA ) +  0  +  0  + vect( BJ ) . vect( AD )

        On a    vect( AJ ) . vect( ID ) = - AB × IA  + 0    +   0    + BJ × AD   

        car  les vecteurs vect( BJ ) et vect ( AD ) sont colinéaires et de même sens

         et les vecteurs vect( AB ) et vect ( IA ) sont colinéaires et de sens contraires.

       Comme ABCD est un carré avec I milieu de [AB] et J milieu de [BC] on a:    

             IA = BJ   et   AB = AD

          Ainsi

 Conclusion:    vect( AJ ) . vect( ID ) = 0

     b.  Le vecteur  vect( ID )  est non nul et orthogonal  au vecteur vect( AJ ).

     Conclusion :  vect( ID ) est un vecteur normal à la droite ( AJ )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------