EX 9 PROD SCAL 1S AVRIL 09

 EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE   1S   AVRIL 2009

  EXERCICE 9

       Soit H l'orthocentre du triange quelconque ABC.

       Etablir l'égalité   AB² - AC² = HB² - HC²

      ( Indication: On pourra décomposer AB² - AC²  à l'aide du point H. ) 

 

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  Réponse:

                 On a :   AB² - AC²  =   ( vect( AB ) )² - ( vect( AC ) )²

                 c-à-d    d'après Chasles

                AB² - AC²  =   ( vect( AH ) + vect( HB)  )² - ( vect( AH ) + vect( HC ) )²   

   Mais      ( vect( AH ) + vect( HB)  )² =   ( vect( AH ) )² + ( vect( HB ) )²  + 2 vect( AH ) . vect( HB )   

       et      ( vect( AH ) + vect( HC ) )²   =  ( vect( AH ) )²  + ( vect( HC ) )² + 2 vect( AH ) . vect( HC )

 Par différence on a :

 AB² - AC²  =   ( vect( HB ) )²  -  ( vect( HC ) )²   +  2 vect( AH ) . vect( HB )  -  2 vect( AH ) . vect( HC ) 

              AB² - AC²  =   HB²  - HC²    + 2 vect( AH ) . ( vect( HB ) - vect( HC ) )

 c-à-d     AB² - AC²  =    HB²  -   HC ²  + 2 vect( AH ) . ( vect( HB ) +  vect( CH ) )

  c-à-d     AB² - AC²  =    HB²  -   HC ²  + 2 vect( AH ) . vect( CB ) 

  c-à-d   comme  les droites ( AH ) et  ( CB ) sont orthogonales

                AB² - AC²  =    HB²  -   HC ²    + 0           

  Conclusion :   AB² - AC²  =    HB²  -   HC ²