INFO 2 DV n° 7 1S 27 mars 10

            INFO 2   EXERCICE 2               DV n ° 7             27 Mars 2010

                    EXERCICE 2

                                         Soit la fonction:                                      

                                                   h : x → 2 x3  -  3 x2  - 12 x + 1

                              Le plan est muni d'un repère orthogonal

                               .

                              ( Unités graphiques:   1 cm suivant l'axe des abscisses.                                                       

                                                                  0,5 cm suivant l'axe des ordonnées   )

                 1. a. Rechercher la fonction dérivée h' de h.

                         Toute fonction polynôme est dérivable sur son domaine de définition IR.

                         Donc h  est dérivable sur son domaine de définition IR.

                         On a:   

                           Conclusion:       h ' : x →   6  x2  -  6 x  - 12

                     b. Etudier son signe.

                             Il s'agit du signe de h '.

                             On peut factoriser 6.

                             Soit x dans IR.

                            On a :

                               h ' ( x ) =  6 ( x2  -   x  - 2 ) 

                               - 1  est une racine évidente .

                             L'autre racine est donc  -  c / a =  - ( - 2 ) / 1  = 2

                            La règle des signes d'un trinome du second dégré permet de  

 

                           donner le signe de  h ' ( x ) . 

 

x - ∞                               - 1                             2                   +∞ 
h ' ( x )                  +                  0          -                   0             +
                                              

 

 

 

 

                 c. En déduire le tableau de variations de la fonction h.        

 

 

 

x - ∞                               - 1                             2                   +∞ 
h ' ( x )                  +                  0          -                   0             +
 h ( x )                ↑                    8            ↓                 - 19                              ↑

 

 

 

 

 

 

                  2. Construire la courbe de h.

 

                            

 

                  3 . Discuter graphiquement suivant le réel m

                       le nombre de solutions de l'équation  h( x ) = m. 

                       Considérons la droite Dm  horizontale d' équation y = m.

                       Quand m se déplace sur l'axe des ordonnées " comme un curseur"

                       la  droite  Dm  peut la rencontrer une fois ,  la rencontrer deux fois ....

                      Il faut discuter.

                     *    m > 8 ou m < -19 .  Alors il y a un unique  point commun entre

                          la courbe de h et la droite  Dm .

                    *    m = 8 ou m = -19  Alors il y a deux points commun entre  la droite Dm  

                         et la courbe de h.

                    *     - 19 < m < 8     la droite Dm d'équation y = m  rencontre

                          trois  fois la courbe de h.

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